¿Existe línea de paquetes sobre el producto de curvas elípticas $E\times E$ que tiene un no-trivial de chern de la clase contenido en $H^1(E)\otimes H^1(E)$?

Question

Dado un proyectiva de curva elíptica $E = E'$ podemos construir la línea de paquetes de $\mathcal{O}(a,b)$ $E\times E'$ tiraron de $\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^2$. Desde las clases de chern se tiró hacia atrás de las dos copias de $\mathbb{P}^2$, viven en el módulo de $$ H^2(E)\otimes H^0(E') \oplus H^0(E)\otimes H^2(E') $$ ¿Existe línea de paquetes de más de $E\times E'$ cuyo chern clases están contenidas en $H^1(E)\otimes H^1(E')$? Si es así, ¿cuál es ejemplo de una línea de paquete?

Answer 1

Si $E = E'$, a continuación, un ejemplo de esta línea de paquete es el ideal de la diagonal $L = \mathcal{O}_{E \times E}(-\Delta)$.

Más generalmente, si $E$ $E'$ son isogenous, el ideal de la gráfica de una isogeny da un ejemplo.