Todo grupo de Lie es el producto semidirecto de un grupo de Lie conexo y un grupo discreto.
Creo que el componente de la identidad podría ser útil.
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Jeff
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Advertencia. Al parecer, la prueba no es correcta. Lo actualizaré más tarde.
Para cada grupo topológico $G$ con componente de identidad $G^0$ es bien conocido y fácil de demostrar que $G^0$ es un subgrupo normal, de hecho característico, cerrado. Si $G$ está conectada localmente, $G^0$ es abierto, lo que implica que el grupo cociente $G/G^0$ es discreto. El álgebra de Lie de $G$ es isomorfa al álgebra de Lie de $G/G^0 \times G^0$ por lo que estos grupos de Lie son localmente isomorfos. No es difícil ver que los isomorfismos se pegan a un isomorfismo global, ya que la descomposición en un producto de un grupo de Lie conectado y uno discreto es esencialmente única.
Por cierto, la afirmación correspondiente a los grupos topológicos es errónea.
