Para una real positiva definida la matriz de $A$, podemos encontrar la descomposición de Cholesky $LL^T = A$. Si vamos a relajar las restricciones que L tiene que ser inferior triangular, debemos ser capaces de encontrar toda una serie de descomposiciones $FF^T=A$. ¿Se sabe algo de cómo encontrar la solución general a este?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que el siguiente es correcto:
Utilizamos la descomposición QR: $F^T=QR$ donde $Q$ es ortogonal y $R$ es triangular superior. A continuación,$A=FF^T=R^TQ^TQR=R^TR$. Entonces, para resolver la ecuación en $L$: $A=LL^T$ donde $L$ es inferior triangular.
Por el contrario, se aplican a $A$ el Cholesky del algoritmo, excepto que no pone necesariamente en cada elemento de la diagonal de a $L$ la raíz cuadrada positiva. Es fácil ver que tenemos $2^n$ posibles valores de la diagonal $(L_{i,i})_{i,i}$ y, en consecuencia, no es difícil ver que obtenemos $2^n$ valores distintos para el triangular inferior de la matriz $L$. De la siguiente manera obtenemos todas las soluciones de nuestro problema: $F=QR$ donde $Q$ es cualquier matriz ortogonal y $R$ es uno de los $2^n$ soluciones de la ecuación anterior.
Tenga en cuenta que está vinculada a la de Yulia V del comentario.
