Supongamos que$F$ es un campo y el polinomio irreducible sobre$F$ de$x$ es de grado impar.

Question

Una pregunta recientemente he encontrado es:

Deje $F$ ser un campo. Deje $x$ ser algebraicas sobre $F$. Supongamos que el polinomio mínimo de a $x$ es de grado impar. Espectáculo $F(x) = F(x^2)$.

Sabemos $F(x^2)$ es un subconjunto de a $F(x)$ porque $x^2$ pertenece a $F(x)$. Para mostrar a los otros de contención, haga lo siguiente: Supongamos, por una contradicción, $x$ no es un elemento de $F(x^2)$. Entonces, el polinomio mínimo de a$x$$F(x^2)$$f(y) = y^2 - x^2$. De ello se desprende que $[F(x):F(x^2)] = 2$. Pero $[F(x):F(x^2)][F(x^2):F] = 2[F(x^2):F]$ es impar, una contradicción.

Hay un agujero en mi lógica? Por alguna razón, no estoy muy seguro de si esto es correcto.

Answer 1

Tu prueba está bien, pero hay una más directa.

Escriba$f(X)=g(X^2)+h(X^2)X$, donde$f(X)$ es el polinomio mínimo de$x$; en otras palabras, agrupe los términos de grado par en$g(X^2)$ y los términos de grado impar en$h(X^2)$ (después de recopilar$X$ en los términos de grado impar). Tenga en cuenta que$h(X^2)\ne0$, porque$f$ tiene grado impar y que$h(x^2)\ne0$, porque$h(X^2)$ tiene un grado menor que$f(X)$. Entonces$f(x)=0$ da $$ x = - \ frac {g (x ^ 2)} {h (x ^ 2)} $$

Answer 2

Que se ve bien.

De una manera más directa la prueba, sin la teoría de Galois

Deje $p(X)$ ser el polinomio mínimo de a $x$ $q(X)$ el polinomio mínimo de a $x^2$. A continuación, $q(X^2)$ tiene raíces $\pm x$, por lo que debe ser divisible por $p(X)$ e $p(-X)$. Es posible que $p(X)$ $p(-X)$ tener factores comunes? No. (El argumento para esto es donde usamos ese $p$ es de grado impar y irreductible.)

Por lo $p(X)p(-X)$ debe ser un divisor de a $q(X^2)$, por lo que el grado de $q$ debe ser de al menos el grado de $p$.

Advertencia: Oh, me acabo de dar cuenta de este argumento requiere de $-x\neq x$, lo $F$ tendría que no ser de carácter $2$.