¿Que, específicamente, Principia Mathematica no?

Question

Estoy muy fascinado por el libro Principia Mathematica. De lo que he aprendido hasta ahora, los Principia Mathematica de ser, esencialmente, la biblia de las matemáticas y la lógica, de la que todas las matemáticas y lógicas, las ideas pueden ser derivadas. Como yo lo entiendo, el libro que inicialmente fue un éxito en el que nadie cuestionado la "integridad"...hasta que Gödel llegó junto con su Teorema de la Incompletitud.

Así que mi pregunta es, si el Teorema de la Incompletitud de Gödel dice que Principia Mathematica (y cualquier otro trabajo) nunca puede abarcar todas las de la matemática y la lógica, ¿qué ideas/teoremas/pruebas/etc. existen en las matemáticas y la lógica que no puede ser derivado de Principia Mathematica?

Answer 1

Tal vez deberíamos distinguir dos preguntas:

(1) No $PM$ no como una filosófico/fundacionales del proyecto: si es así, ¿por qué?

(2) No $PM$, en cierto sentido, no como un matemático proyecto: si es así, ¿por qué?

Re (1): se suele decir que el proyecto filosófico de la PM fue la defensa de una versión de logicismo, mostrando que todas las verdades aritméticas, todas las verdades de análisis clásico, y más, puede ser deducida a partir de pura lógica supuestos además de las definiciones (donde las definiciones de dinero en efectivo fuera de nociones como "es un número natural" en términos puramente lógico). En otras palabras, Russell y Whitehead están tratando de completar Frege la logicist proyecto (pero esta vez, en un coherente marco lógico!).

$PM$ falla, leer como un intento de este proyecto filosófico. Para empezar, su Axioma de Infinitud y el Axioma de Reducibilidad son muy difíciles de defender como lógica de los axiomas. Y luego, un golpe fatal -- Gödel primer teorema de la incompletitud muestra que la ambición de captura, incluso todas las operaciones aritméticas verdades en una sola (decidably) axiomatized sistema debe fallar. [Aparte: ZFC no es propuesta con el mismo abarca todo logicist ambiciones $PM$, por lo que no es impugnada en este camino por Gödelian incompletitud.]

Re (2): La ramificado tipo de teoría de la PM es, matemáticamente, desordenado, para trabajar en diversas formas. No sólo un inconveniente, pero sucio en una forma que sugiere que no es la aplicación de su idea principal en la que matemáticamente la mejor manera. Y de hecho, como Ramsey dijo hace tiempo, la matemática proyecto de $PM$ no necesita de algunas de las complicaciones (las complicaciones que requiere el Axioma de Reducibilidad y que parece estar ahí por más razones filosóficas -- es decir, para dar un uno-tamaño-caber-todo tratamiento de toda una serie de paradojas, la lógica y la semántica). Así que vamos a separar una de las claves idea matemática, y llegamos cerca de un descendiente de $PM$, la preservación de Russell idea clave, a saber, (Simple) Tipo de Teoría, que está vivo y bien y no un fracaso en todo!

Answer 2

Por Goedel del segundo teorema de la incompletitud, el sistema establecido en Principia no puede probar su propia consistencia.

Edit. Por cierto, yo siempre he pensado bastante mal de el argumento de que los "Principia fallado debido a que los teoremas de la incompletitud." En primer lugar, este argumento puede ser aplicado a cualquier fundamentales del sistema. "ZFC fallado debido a que los teoremas de la incompletitud." Excepto que no, porque todo el mundo (bueno, casi todos) ama ZFC.

Creo que, en realidad, fundamentos de los sistemas son elegidos no sólo por su nivel de exhaustividad, sino también por su facilidad de uso. Por lo que he escuchado, los Principia sistema era difícil de manejar y poco uso; por lo tanto, si vamos a tomar la posición de que Principia Mathematica fallado, entonces probablemente deberíamos de tomar la posición de que: "fracasó porque era un inconveniente."