$R$ - inyección lineal

Question

Si$f: R^n\rightarrow R^m$ es un mapa inyectivo, que también es$R$ - lineal, donde$R$ es un anillo conmutativo con la unidad. ¿Es cierto que$n$ tiene que ser menor o igual a$m$ siempre?

Answer 1

Cuando$R \neq 0$, esto es cierto. Esta pregunta ya ha aparecido en math.SE y en mathoverflow . Ahí encuentras muchas pruebas. Por ejemplo, bastante corto usando el teorema de Cayley-Hamilton.

Answer 2

Deje que$\mathfrak{m}$ sea cualquier ideal máximo de$R$. Puede tensar el mapa con$R/\mathfrak{m}$, de modo que tenga un mapa a$\bar{f}:(R/\mathfrak{m})^n \to (R/\mathfrak{m})^m$, donde$\bar{f}=f \otimes_R R/\mathfrak{m}$.

Editar: Esto es incorrecto, vea el comentario de Martin a continuación.