Lanzamos$5$ dados: ¿Cuál es la probabilidad de tener$4$ números diferentes?

Question

Tiramos $5$ dados: ¿Cuál es la probabilidad de tener $4$ números diferentes?

Sé que es $$\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{6^5}.$$

Yo quería utilizar otro argumento, pero que se vea que no funciona : aprovecho $\binom{6}{4}$ números. Entonces he a$$\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{4!}$$ posibilidades. Entonces tengo que multiplicar este resultado por $4!$ y no entiendo por qué. De hecho, me gustaría multiplicar por $5!$ ya que se puede distribuir el $5$ colores, por ejemplo, $1;2;3;4;4$ en $5!$ diferentes maneras.

• Si quiero que todos los dados diferentes, este argumento funciona: aprovecho $\binom{6}{5}$ número, a continuación, puede distribuir los colores en $5!$ manera diferente que dará $\frac{5\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{5!}5!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2$ posibilidades, que es la respuesta correcta.

Así que ¿por qué no funciona con la situación anterior ?

Answer 1

Observe que para un resultado favorable, exactamente dos de los cinco dados deben mostrar el mismo número, mientras que cada uno de los otros tres dados deben mostrar diferentes números.

Supongamos que los dados son cinco colores diferentes, de modo que podemos distinguir entre ellos. Hay $\binom{5}{2}$ maneras para dos de los cinco dados a mostrar el mismo número y $\binom{6}{1} = 6$ los números posibles de los dos dados a la pantalla. Hay cinco posibles números restantes de los otros tres dados a la pantalla. El número de formas posibles de los tres dados puede mostrar los números es $5 \cdot 4 \cdot 3$ (donde hacemos una lista de resultados ordenados triples en el orden de los colores que aparecen en una lista por orden alfabético). Por lo tanto, el número de resultados favorables es $$\binom{5}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$$ a partir de la cual podemos obtener la probabilidad de $$\frac{\binom{5}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^5}$$ que exactamente cuatro números diferentes se muestran cuando cinco dados son lanzados.

Answer 2

Usted puede lanzar uno por uno $5$ dados.

Discernir los acontecimientos $AXBCD$, $ABXCD$, $ABCXD$ e $ABCDX$ que, por ejemplo, $ABCXD$ stands para el caso de que la cuarta lanza a dar el mismo resultado que uno de los ex lanza y hay exactamente $4$ distintos resultados.

Los eventos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener exactamente $4$ diferentes números es:$$P(AXBCD)+P(ABXCD)+P(ABCXD)+P(ABCDX)=$$$$\frac66\frac16\frac56\frac46\frac36+\frac66\frac56\frac26\frac46\frac36+\frac66\frac56\frac46\frac36\frac36+\frac66\frac56\frac46\frac36\frac46=\frac56\frac46\frac36\left(\frac16+\frac26+\frac36+\frac46\right)$$

Answer 3

Supongamos que la salida está en 5 cuadros como [x] [x] [x] [x] [x] Para 4 resultados diferentes definidos tenemos 6 x 5 x 4 x 3 (en cualquier orden) Para el restante, puede ser Cualquiera de los 6 dígitos, así que tenemos que elegir 1 de cada 5 casillas y también la casilla puede contener cualquiera de los 6 dígitos, es decir, 5c1 x 6

Por lo tanto, la probabilidad debería ser (5c1 x 6 x 6 x 5 x 4 x 3) / 6 ^ 5