Todo número natural $n$ puede escribirse como $n=s-t$ con $\omega(s)=\omega(t)$

Question

¿Podemos demostrar la siguiente afirmación?

Sea $\omega(m)$ denota el número de todos los factores primos distintos de un número entero positivo $m$ .

Demostrar que todo número natural $n$ puede escribirse como $n=s-t$ donde $s$ y $t$ son enteros positivos con $\omega(s)=\omega(t)$ es decir, como la diferencia de dos números enteros positivos con el mismo número de factores primos distintos.

• Si $n=1$ podemos elegir $\ s=3\ $ y $\ t=2$ .

• Si $n$ es par, podemos elegir $\ s=2n\ $ y $\ t=n$ .

Answer 1

Sin embargo, hay una forma de demostrarlo directamente, y es bastante sencilla:

Caso 1: Tanto 2 como 3 se dividen $n$ o ni 2 ni 3 se dividen $n$ : Entonces $s=3n$ y $t=2n$ .

Caso 2: 3 no se divide $n$ pero $2$ lo hace: Entonces $s=2n$ y $t=n$ .

Caso 3: 3 divisiones $n$ pero la 2 no: Entonces $p$ sea el primo impar más pequeño que no divide a $n$ . Entonces $s=pn$ y que $t=(p-1)n$ . [Tenga en cuenta que $p-1$ es el producto de primos Impares más pequeños, todos los cuales dividen a $n$ [por def'n de $p$ ], y 2, que no lo hace. Así que $\omega(pn) = \omega(n) +1$ [porque $p$ no divide $n$ ], mientras que $\omega((p-1)n) = \omega(n) +1$ porque el único factor primo de $p-1$ que no divide $n$ es 2.]

Answer 2

Si $n$ es par entonces $n$ y $2n$ tienen el mismo número de factores primos, por lo que $$n=2nn,$$ muestra que $n$ es la diferencia de dos números naturales que tienen el mismo número de factores primos.

Si $n$ es impar entonces que $q$ sea el menor número primo impar no divisor de $n$ . Entonces $q+1$ es par, y todos sus factores impar dividen a $n$ . De ello se deduce que $qn$ y $(q+1)n$ tienen el mismo número de factores primos, por lo que $$n=(q+1)nqn,$$ muestra que $n$ es la diferencia de dos números naturales que tienen el mismo número de factores primos.

Answer 3

La conjetura de Bunyakovsky implica que siempre encontramos una solución.

Para demostrarlo, supongamos que hay infinitos enteros positivos $p$ tal que $$2p+1$$ $$2p+3$$ $$2p^2+4p+1$$ son simultáneamente primos. Entonces, podemos elegir $p>n$ que satisfaga esta propiedad. Entonces, $$(2p+1)(2p+3)n-2(2p^2+4p+1)n=n$$ es una solución, siempre que $n$ es impar (el caso par ya se ha resuelto).

Hay muchas otras posibilidades para elegir las expresiones, por lo que la afirmación dada es, de hecho, mucho más débil que la conjetura de Bunyakovsky.

Answer 4

• Si $\ n\ $ es par, véase usuario3733558 Comentarios o Respuesta de Servaes por un argumento mucho más simple que el que di originalmente.

• Si $\ n\ $ es impar, que $q\ $ sea el primo impar más pequeño que no divide a $\ n\ $ . Entonces todos los factores primos Impares de $\ q-1\ $ deben ser factores de $\ n\ $ y ambos $\ qn\ $ y $\ (q-1)n\ $ debe tener exactamente un factor primo más que $\ n\ $ .

Answer 5

Si $d$ es cualquier número par, la hipótesis de Schinzel implica la existencia de un primo $p$ tal que $p+d$ también es primo. En este caso , el par $(p,p+d)$ hace el trabajo.

Sea $d$ sea un número entero positivo impar.

$$[dx(x+y),2d\frac{x^2+xy+1}{2}]$$ es un par adecuado con diferencia $d$ si todos los números $$x,x+y,\frac{x^2+xy+1}{2}$$ son Impares números primos distintos , todos mayores que el mayor factor primo de $d$ .

Con $$p=x,q=\frac{x^2+1}{2},y=2k$$ où $p$ es un primo impar , obtenemos los números $$p,p+2k,q+pk$$ Tenga en cuenta que $q$ es un número entero, si $p$ es un primo impar. La hipótesis de Schinzel predice infinitos muchos $k$ de forma que todos los $3$ son primos porque $p$ y $q$ debe ser coprimo. Dado que $p$ es arbitraria , podemos establecer primos suficientemente grandes y por lo tanto obtener la solución deseada.

Por lo tanto, si se cumple la hipótesis de Schinzel, podemos encontrar un par con cada diferencia dada.