¿Qué inspira a la gente a definir mapas lineales?

Question

Actualmente estoy auto estudiar Álgebra Lineal Hecho a la Derecha. Estoy haciendo bien y en la actualidad en el Capítulo 3 Lineal Mapas.

Mi entendimiento es que ahora, un mapa es como una función que se asigna algo a otra cosa.

Por qué a la gente le gusta particularmente definir lineal mapas? Solo por curiosidad..tal vez hay no-lineal de los mapas?

Otra pregunta estúpida es que es lineal mapas de ver realmente como una línea recta en algunos ejemplos concretos, como, $u, v $ es de 1 dimensiones de espacio vectorial. Y, a continuación, $T(u+v) = T(u) + T(v)$ O ponerlo de otro modo ¿por qué se llama lineal mapa.

Y por último, ¿por qué lineal mapas tienen la aditividad y la homogeneidad de las propiedades?

Answer 1

En el cálculo, la derivada se define por $$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. $$ Intuitivamente, si la entrada cambia por una pequeña cantidad $\Delta x$, y el correspondiente cambio en la salida es $\Delta f$, entonces el cambio en la salida está relacionado con el cambio en la entrada por la ecuación $$ \etiqueta{1} \Delta f \aprox f'(x_0) \Delta x. $$

Nos gustaría generalizar la idea de la derivada para funciones de $f:\mathbb R^n \to \mathbb R^m$. En este caso, $\Delta x \in \mathbb R^n$ e $\Delta f \in \mathbb R^m$. ¿Qué tipo de cosa debe $f'(x_0)$? $$ \underbrace{\Delta f}_{m \times 1} \approx \underbrace{f'(x_0)}_{\text{?}} \underbrace{\Delta x}_{n \times 1} $$ La respuesta es que $f'(x_0)$ debe ser una transformación lineal de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^m$. Cada componente de la salida debe ser una combinación lineal de los componentes de la entrada. Que es el más sencillo, o de manera más evidente a generalizar la idea de la multiplicación por un escalar (en la ecuación (1)) a este nuevo escenario, donde la entrada y la salida son los dos vectores.

En mi opinión, esta es la manera más clara para descubrir la idea de transformaciones lineales. Esta es la razón por la que nos preocupamos por ellos. (Al menos, es una razón importante por la que nos preocupamos por ellos.)

La estrategia fundamental del cálculo es aproximado de una complicada función no lineal $f$ mediante una función lineal: $$ f(x) \approx \underbrace{f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)}_{L(x)}. $$

Cuando reemplazamos $f$ con su local de la aproximación lineal $L$, los cálculos se simplifican considerablemente, y la aproximación es a menudo lo suficientemente bueno como para ser útil. La mayoría de cálculo puede derivarse fácilmente utilizando esta estrategia fundamental.

Con este punto de vista, vemos que el cálculo y álgebra lineal están conectados en el nivel más básico.

Answer 2

La linealidad es definido por la aditividad y escalar la homogeneidad. No puedo explicar por qué lineal mapas tienen estas propiedades, otros que dicen que es incorporada en la definición.

La cuestión separada de la de por qué nos preocupamos de estos mapas es una buena. Definimos la linealidad de porque es una forma simple y de propiedad común de las relaciones que tienen. "Mapa" es otra palabra para "función": tenemos una relación de $T$ entre dos espacios vectoriales $X$ e $Y$. Podemos asignar un vector $x$ a otro vector de $y$. Si tuviéramos que añadir otro vector de $\Delta x$ a $x$, esto se traducirá en un cambio en $Y$, de acuerdo a $T$. Cuando $T$ es lineal, podemos esperar que el resultado de la suma de $\Delta x$ a nuestra variable independiente $x$ a ser muy predecible: es siempre agregar $T(\Delta x)$. Es decir, el mismo cambio aplicado a nuestra variable $x$, no importa lo $x$ es de antemano, el resultado será el mismo cambio en $y$: específicamente, la adición de $T(\Delta x)$.

En un sentido práctico, esto es, una propiedad útil, como se hace interpolaciones y extrapolaciones extremadamente fácil. Si trabajas $30$ horas en una semana y llevar a casa $\$600$ in that week, then the linear relationship will tell you very quickly that you would take home $\$800$ para un $40$ horas a la semana, o $400$ una $20$ horas a la semana.

Compare esto con algo un poco más complejo. Digamos que usted está haciendo un cohete para volar en el espacio, y usted se está preguntando cuánto combustible para poner en el tanque. La relación no es lineal, ya que poner el doble de combustible no dará como resultado el doble de la distancia; cada tonelada de combustible se añade peso, y más de combustible que será necesario para impulsar este peso extra en el espacio. Así que, para ir el doble de la distancia en el espacio, usted necesitará un poco más de el doble de combustible. Este es un ejemplo de una relación no lineal, y hace las cosas un poco más complicadas.

A menudo, cuando una relación no lineal levanta la cabeza, la gente va a atacar con algún tipo de linealización. De hecho, el cálculo es principalmente acerca de linealización; sus derivados son, en esencia, sobre la aproximación de una (posiblemente no lineal) de la función mediante una función lineal.

En un sentido teórico, lineal mapas se prestan a algunos útiles de la teoría, que es de esperar que estás aprendiendo. Lineal mapas entre finito-dimensional espacios pueden ser representados por matrices, y casi en cualquier lugar donde veas una matriz, hay una cierta intuición acerca lineal mapas detrás de él. Lineal de operadores (matrices cuadradas, en lo finito-dimensional) son de gran interés para la gente que estudia los sistemas dinámicos, y forman la base de las áreas de estudio como $C^*$ álgebras.

¿Por qué son llamados "lineal" de los mapas? Así, en esencia, conservar líneas. En realidad, hay un poco más grande de la clase de mapas llamado "afín" mapas que también conservar líneas, pero estos son simplemente lineal mapas con suma una constante en ellos. Lineal mapas son mapas que preservar las líneas y el origen.

Espero que esto responda a su pregunta.

Answer 3

Para obtener una apreciación de lo 'inspira a la gente', la historia siguiente sección ha sido copiado de la wikipedia artículo sobre la eliminación Gaussiana:

La historia

El método de eliminación Gaussiana aparece en el Chino de matemática de texto Capítulo Ocho: Matrices Rectangulares de Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático. Su uso se ilustra en dieciocho de los problemas, con dos a cinco ecuaciones. La primera referencia a el libro de este título es de fecha a 179 CE, sino partes de ella se han escrito tan temprano como a los aproximadamente 150 AEC. Esto fue comentado por Liu Hui en el 3er siglo.

El método en Europa proviene de las notas de Isaac Newton. En 1670, escribió que todos los libros de álgebra conocido para él carecía de una lección para la solución de ecuaciones simultáneas, que Newton suministrada. La Universidad de Cambridge publicado finalmente las notas como Arithmetica Universalis en 1707 mucho después de que Newton había dejado la vida académica. Las notas fueron muy imitados, lo que hizo (lo que se llama ahora) eliminación Gaussiana estándar lección de álgebra libros de texto por el final del siglo 18. Carl Friedrich Gauss en 1810 ideado una notación para simétrica eliminación que fue adoptado en el siglo 19 por los profesionales de la mano de los equipos para resolver las ecuaciones normales de mínimos cuadrados problemas. El algoritmo que se enseña en la escuela secundaria fue nombrado por Gauss sólo en la década de 1950 como resultado de la confusión sobre la historia del sujeto.

Algunos autores utilizan el término de eliminación Gaussiana para referirse sólo para el procedimiento hasta que la matriz está en forma escalonada, y utilizar el término de Gauss–Jordan eliminación para consultar el procedimiento que termina en forma escalonada reducida. El nombre se debe a que es una variación de la eliminación Gaussiana como se describe por Wilhelm Jordan en 1888. Sin embargo, el método también aparece en un artículo de Clasen publicado en el mismo año. Jordania y Clasen probablemente descubrió Gauss–Jordan eliminación de forma independiente.

En un muy nivel rudimentario, álgebra lineal proporciona un compacto y hermoso notación para expresar los problemas del mundo real sobre un sistema de ecuaciones lineales. Y ya que es tan hermoso, el estudio de estas estructuras matemáticas en el resumen ha de conducir a una comprensión más profunda de nuestro universo.

Desde Theo Bendit, mencionó C*-álgebras (el pináculo de esta abstracción matemática), no me resisto a copiar la frase final del artículo de wikipedia sobre ese tema:

Este C*-álgebra enfoque se utiliza en la Haag-Kastler axiomatization de los locales de la teoría cuántica de campos, donde cada conjunto abierto de espacio-tiempo de Minkowski se asocia con una C*-álgebra.