Tirando$4$ dados y multiplicando los resultados. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea divisible por$5$ o tenga$5$ como el dígito menos significativo?

Question

Cuatro feria dados son lanzados y los cuatro números que se muestran son multiplicados juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que este producto

(a) Es divisible por $5$?

(b) el último dígito $5$?

MI INTENTO

a) Un número es divisible por $5$ si y sólo si tiene al menos un factor igual a $5$. Nos deja denotar por $F$ el evento "que se produce al menos un número de cinco". Por lo tanto el tratado de probabilidad está dada por \begin{align*} \textbf{P}(F) = 1 - \textbf{P}(F^{c}) = 1 - \frac{5^{4}}{6^{4}} = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \end{align*}

b) Aquí está el problema. Yo no soy capaz de describir correctamente los resultados de destino.

Estoy en el camino correcto? Por favor alguien puede ayudarme a solucionarlo? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como otros han señalado, para la parte (b) en primer lugar puede demostrar que:

el producto tiene el último dígito $5$ si y sólo si todos los números son impares y hay al menos un $5$.

A partir de ahí me iba a proceder de la siguiente manera (un poco más simple que pwerth y José Carlos Santos enfoques):

\begin{align*} P(\text{all odd AND at least one 5}) &= P(\text{all odd}) - P(\text{all odd and no 5}). \end{align*}

Así que, ¿cuál es la probabilidad de que todos los dados son impares? Y ¿cuál es la probabilidad de que todos son impares y no es $5$ (es decir, todos los dados se $1$ o $3$)?

Answer 2

a) se ve bien

b) Sugerencia: un número termina en $5$ si ambos

• es divisible por $5$
• es impar (es decir, no divisible por $2$ )

Answer 3

Tu respuesta por parte $(a)$ es correcta. Para la parte $(b)$, se observa que un número $N$ tiene el último dígito $5$ fib es divisible por $5$ e impar. Esto significa que si denotamos nuestros rollos por $a,b,c,d$ entonces $N=abcd$ cuando al menos uno de $a,b,c,d$ es $5$ y ninguno de $a,b,c,d$ es incluso. Esto significa que tenemos que evitar que se $2,4,6$ en todos los rollos, así como obtener al menos un $5$.

• Caso 1: Exactamente un $5$. Elija uno de $4$ posiciones de la $5$ y rellene los tres puntos, ya sea con $1$ o $3$. Esto se puede hacer en $\binom{4}{1}\cdot 2^{3}$ maneras.
• Caso 2: Exactamente dos $5$s. Elija dos de $4$ posiciones de la $5$s y rellenar el resto de los dos puntos, ya sea con $1$ o $3$. Esto se puede hacer en $\binom{4}{2}\cdot 2^{2}$ maneras.
• Caso 3: Exactamente tres $5$s. Elige tres de $4$ posiciones de la $5$s y llene el resto de spot con $1$ o $3$. Esto se puede hacer en $\binom{4}{3}\cdot 2^{1}$ maneras.
• Caso 4: Todos los $5$s. Sólo hay una manera de hacer esto.

El número de resultados deseables es, por tanto, $$\binom{4}{1}\cdot 2^{3}+\binom{4}{2}\cdot 2^{2}+\binom{4}{3}\cdot 2+ 1$$ y desde allí se $6^{4}$ total de los resultados, la probabilidad deseada es $$\frac{\binom{4}{1}\cdot 2^{3}+\binom{4}{2}\cdot 2^{2}+\binom{4}{3}\cdot 2+ 1}{6^{4}}$$

Answer 4

Su respuesta a la primera pregunta es correcta.

Con respecto a la otra pregunta, tenga en cuenta que el último dígito se $5$ si y sólo si existe al menos un $5$ y, además, todos los demás son impares. Así, la respuesta es la suma de $4$ números:

• las probabilidades de que hay exactamente uno de cinco y los otros son los números impares: $\displaystyle4\times\frac16\times\left(\frac13\right)^3$;
• las probabilidades de que hay exactamente dos cincos y los demás son números impares: $\displaystyle6\times\left(\frac16\right)^2\times\left(\frac13\right)^2$;
• las probabilidades de que hay exactamente tres de cinco en cinco y el otro es un número impar: $\displaystyle4\times\left(\frac16\right)^3\times\frac13$;
• las probabilidades de que hay cuatro de cinco en cinco: $\displaystyle\left(\frac16\right)^4$.