Esta es mi primera pregunta en StackExchange. Creo que es probablemente bastante fácil, pero ha sido desconcertante de mí por un tiempo.
Yo estoy haciendo los cálculos para determinar las propiedades invariantes de la cantidad de $X\circ Y= \nabla_Y X$ donde $X$ e $Y$ son campos vectoriales, cuando hacemos un cambio de coordenadas opciones (cuando $\nabla$ es un plano de torsión de conexión).
Así que, naturalmente, vamos a empezar con el caso más simple, $\mathbb{R}$ con su conexión habitual. Sin embargo nos encontramos con el siguiente problema.
Empezar con campos vectoriales $X=f(x)dx$ e $Y=g(x)dx.$ Tenemos $X\circ Y = g(x)\frac{df}{dx}dx.$ Le, a continuación, realizar un cambio de coordenadas $\phi(y)=x.$ Lo $X=f(\phi(y))\frac{d\phi}{dy}dy$ e $Y=g(\phi (y))\frac{d\phi}{dy}dy.$ Entonces $X \circ' Y = g(\phi(y))\frac{d\phi}{dy}(\frac{df(\phi(y))}{d \phi}\frac{d \phi}{dy}+f(\phi(y))\frac{d^2\phi}{d y^2})dy$ en las nuevas coordenadas. El intento de regresar a $x$-coordenadas obtenemos $X \circ' Y =(\frac{d \phi}{dy})^2(g(x)\frac{df}{dx}dx)+ g(x)f(x)\frac{d^2 \phi}{dy^2}dx$. El último término es simétrica en $X$ e $Y$ y para los fines de esta cuestión puede ser descuidado.
En este caso, $X\circ Y-Y\circ X = [Y,X]$ como $\nabla$ es plano de torsión libre. Pero en la expresión anterior, podemos recoger un factor de $(\frac{d\phi}{d y})^2$ cuando se calcula el soporte. Pero el soporte es coordinar independiente! ¿Qué ha fallado?
