El conjunto$H=\{(x,y)\in \Bbb{R^2}:\;3x+2y=5 \},$ es un subconjunto cerrado de$\Bbb{R^2}$

Question

Por favor revise si la prueba es correcta. Gracias por su tiempo y esfuerzos.

MI PRUEBA

Para todos los $n\in \Bbb{N},$ deje $(x_n,y_n)\in H$ tal que $(x_n,y_n)\to (x,y),$ como $n\to \infty.$ Nos muestran que $(x,y)\in H.$

Sin embargo, $(x_n,y_n)\in H$ implica $3x_n+2y_n=5,$ para todos los $n\in \Bbb{N}.$ Como $n\to \infty, $

$$ 3x+2y=\lim\limits_{n\to\infty}(3x_n+2y_n)=\lim\limits_{n\to\infty}5=5 . $$ Por lo tanto, $(x,y)\in H$ lo que implica que el conjunto, $H=\{(x,y)\in \Bbb{R^2}:\;3x+2y=5 \},$ es un subconjunto cerrado de $\Bbb{R^2}$

Answer 1

¡Se ve bien! Alternativamente, tome $\alpha=(x,y) \in \Bbb R^2 \setminus H$ . Tome $r=d(\alpha,H)>0$ , la distancia desde el punto $\alpha$ a la línea $H$ . Entonces, $$B(\alpha,r) \subset \Bbb R^2 \setminus H$$ showing $ \ Bbb R ^ 2 \ setminus H $ está abierto.

Answer 2

Tal vez estoy complicar esto, pero aquí es donde creo que la prueba falla

Imagina que $H = \{(x, y)\in \Bbb{R}^2: x^2 + y^2 < 1\}$. Y ahora me voy a aplicar tu mismo argumento

Para todos los $n\in \Bbb{N},$ deje $(x_n,y_n)\in H$ tal que $(x_n,y_n)\to (x,y),$ como $n\to \infty.$ Nos muestran que $(x,y)\in H.$

Sin embargo, $(x_n,y_n)\in H$ implica $x_n^2+y_n^2<1,$ para todos los $n\in \Bbb{N}.$ Como $n\to \infty, $

$$\lim\limits_{n\to\infty} x_n^2 + y_n^2 = x^2 + y^2 < 1$$ Por lo tanto, $(x,y)\in H$ lo que implica que el conjunto, $H=\{(x,y)\in \Bbb{R^2}:\;x^2+y^2<1 \},$ es un subconjunto cerrado de $\Bbb{R}^2$

¿Ve usted el problema?

Answer 3

Yo modificaría su prueba para hacer un paso tácito explícito en la pantalla: Si $(x_n,y_n)\to(x,y)$ , entonces

PS

Answer 4

Creo que deberías tener $3x+2y$ en la línea 3 desde la parte inferior ...