Significado de "cero absoluto" en la teoría de conjuntos

Question

Con gran placer me estoy leyendo "Creer que los axiomas" por Penélope Maddy después de que alguien vinculado a él aquí en la MSE. (https://www.jstor.org/stable/2274520). Sin embargo en la página 495 hay una frase que no entiendo:

Por ejemplo, un subconjunto de la unidad de intervalo se llama "cero absoluto", si es que puede ser cubierto por cualquier contables de la colección de intervalos.

(El 'por ejemplo' se refiere a 'fuerte pequeñez de las propiedades, de los cuales es el cero absoluto es un ejemplo)

No entiendo esta definición y, debido a la inmensa cantidad de artículos sobre el más famoso "cero absoluto" de la física es imposible de google. Creo que mi problema es con la interpretación de la palabra 'todo'.

A mí me parece que por cada punto de $x$ en la unidad de intervalo es fácil construir una contables de la colección de intervalos que no cubre $x$, por lo tanto demostrar que ningún conjunto no vacío puede ser cero absoluto. Pero claramente no es lo que se quiere decir. Pero entonces, ¿qué es?

La siguiente frase del artículo no hacerlo más claro:

Si cubre sólo es necesaria cuando los intervalos son de la misma longitud, entonces el conjunto tiene medida de Lebesgue cero, pero no tendría que ser necesariamente cero absoluto.

Tenía la esperanza de que yo pudiera pensar de algún criterio que suena vagamente como "puede ser cubierto por cualquier contables de la colección de intervalos de la misma longitud" eso implicaría medida cero, pero no pude. La siguiente frase del artículo se profundiza en la distinción entre la medida cero y el cero absoluto:

Así, el Cantor del discontinuum tiene medida de Lebesgue cero, pero no es el cero absoluto, porque no puede ser cubierto por contables manby intervalos de longitud de $(1/3)^n$.

'Ok', pensé, 'esto da una pista de lo que podría ser, que significa". Tal vez significaba " Un conjunto $Z$ es el cero absoluto si para cada secuencia $a_1, a_2 ,\ldots$ de los números en $(0, 1]$ hay una colección de intervalos de $I_1, I_2, \ldots$ tal que $I_n$ tiene una longitud de $a_n$ y juntos los intervalos de cubierta $Z$.' Al menos esto suena como un bien de propiedad definida. EDITADO EN: Debido a Asaf Karagila' comentario abajo ahora sé que esta propiedad tiene nombre y una página de la Wikipedia, aumentando la probabilidad de que este hecho es lo que se quiere decir. FINAL DE LA EDICIÓN

Pero entonces pensé en lo que el analógica con 'intervalos de igual longitud" sería, y todo se derrumba: obviamente la propiedad " para cada número $a \in (0, 1]$ hay una contables de la colección de intervalos, cada uno de longitud $a$, que en conjunto abarcan $X$' es verdadera para cada subconjunto de $[0,1]$, y no sólo las de medida cero.

Así que estoy de vuelta a la plaza. ¿Alguien puede decirme cuál es la definición de 'cero absoluto' es y lo que la propiedad implica 'ordinario' medida cero, en la segunda frase?

ACTUALIZACIÓN: después de leer la página de la wikipedia en fuerte medida cero' creo que en realidad de verdad (como Asaf escribió) fuerte medida cero y el cero absoluto es la misma cosa. Las relaciones de ambas propiedades a la continuidad de hipótesis y conjeturas por Borel discutido en ambos artículos son demasiado similares para ellos por no ser la misma propiedad.

Pero todavía estoy perplejo acerca de lo que la propiedad de un conjunto dado involucran colecciones de intervalos de la misma longitud, lo que implica que el conjunto a tiene medida cero se alude en la segunda de las citadas sentencias. ¿Alguien sabe?

Answer 1

Por desgracia, Maddy está siendo impreciso en su uso de la terminología y los alrededores de la explicación. La mención de Borel en la página 496 es un buen indicio de que la idea de que ella está discutiendo es la de ser fuerte medida cero, como se sugiere en los comentarios.

Un conjunto de los reales es (o tiene) medida cero si y sólo si para cualquier $\epsilon>0$ puede ser cubierto por countably muchas de intervalos cuya longitud es menos que $\epsilon$. El Cantor del conjunto es un buen ejemplo.

Un conjunto es fuerte medida cero si y sólo si, para cualquier secuencia de números de $\epsilon_n>0$, puede estar cubierta por una secuencia de intervalos abiertos $I_n$ con la longitud de $I_n$ siendo en la mayoría de las $\epsilon_n$. La idea es debido a Borel, en 1919.

Claramente cualquier conjunto de satisfacciones esta última noción es la medida de 0, como para cualquier $\epsilon>0$ podemos tomar $\epsilon_n=\epsilon/2^{n+1}$. Lo que la nueva noción trae a la mesa es que podemos controlar muy fuertemente la forma en que el conjunto está cubierto por intervalos, esencialmente, asegurándose de que no tienen muchos de acumulación de puntos. Fácilmente, cualquier contables conjunto es fuerte medida de 0, pero se puede mostrar que ningún conjunto perfecto es (Maddy también menciona este).

Uno puede demostrar que esto de la siguiente manera: en Primer lugar, dado cualquier conjunto perfecto de $P\subseteq \mathbb R$, hay continuas mapas de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que envían $P$ en la unidad de intervalo: cuando $P$ es el conjunto de Cantor, un famoso ejemplo de este tipo de función $f$ es el Cantor de la función; en general, cualquier conjunto perfecto contiene un conjunto homeomórficos para el conjunto de Cantor, y a partir de esta afirmación fácilmente de la siguiente manera. En segundo lugar, si $X\subseteq \mathbb R$ es fuerte medida 0, entonces su imagen bajo cualquier mapa continuo $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es de nuevo el fuerte de medida 0, esta es una sencilla consecuencia de la continuidad. De ello se sigue que ningún conjunto perfecto es fuerte de medida de 0.

Borel conjeturó que todos los fuertes de medida 0 conjunto es contable. Esta falla en CH, y es un famoso resultado de Lavamanos de 1976 que es consistente (de hecho, más tarde el trabajo por la Fuente, Sela y Woodin muestra que es consistente con la $\mathbb R$ ser arbitrariamente grande).

[Tenga en cuenta que, como se señaló en los comentarios, sólo el vacío puede ser cubierto por cualquier contables de la colección de intervalos. También, no podemos recuperar la noción de medida cero si en lugar de requerir que el conjunto puede ser cubierto por una contables de la colección de intervalos de igual longitud, aunque insistimos en que esta longitud sea menor que un determinado $\epsilon>0$. De hecho, cualquier conjunto puede ser cubierto por una colección. Sospecho que lo Maddy quería decir era que el conjunto puede estar cubierto por una contables de la colección de intervalos de cualquier longitud, lo que significa que toda la colección tiene la longitud dada, más que el individuo intervalos.]