En números pequeños $\varphi(n)/n$

Question

Sea $\Phi(n) = \varphi(n)/n = \prod_{p|n}(p-1)/p$ sea el "totiente normalizado" de $n$ .

Algunos datos:

• $\Phi(p) = (p-1)/p < 1$ para números primos con $\lim_{p\rightarrow \infty}\Phi(p) = 1$

• $\Phi(n) = 1/2$ si $n$ es una potencia de $2$

• $\Phi(n) < 1/2$ para todos incluso $n$ que no son poderes de $2$ y algunos impar $n$

• si $\Phi(n) > 1/2$ entonces $n$ es impar

Tengo algunas preguntas sobre los números con $\Phi(n) < 1/2$ :

• ¿Hay números arbitrariamente pequeños $\Phi(n)$ ? ¿O existe un límite inferior $\Phi_{\text{min}} > 0$ ?

• ¿Existen números Impares con $\Phi(n)$ ?

• ¿Cómo puede explicarse esta asombrosa regularidad cuando se muestran en una espiral cuadrada sólo los números con $\Phi(n) < 1/3$ - un patrón regular de triples que apuntan a la derecha, abajo, izquierda, arriba en el sentido de las agujas del reloj (con algunos distribuidos irregularmente defectos por supuesto):

Observe que el patrón de fondo regular desaparece al elegir valores distintos de 1/3, por ejemplo 0,3 (izquierda) o 0,4 (derecha):

Dado que los casos $\Phi(n) < 1/2$ y $\Phi(n) < 1/3$ muestran patrones regulares, cabe sospechar que también $\Phi(n) < 1/5$ da lugar a cierta regularidad. Pero los números implicados en la creación de ese patrón son demasiado grandes, así que no puedo visualizarlo.

• Se supone que uno visualiza $\Phi(n) < 1/5$ ¿qué patrón regular surgiría (en su caso)?

Answer 1

La respuesta parece sencilla: Si observamos detenidamente los números de la espiral, veremos que la mayoría de ellos son -como es lógico- múltiplos de $6 = 2\cdot 3$ :

Y la espiral obliga a los múltiplos de $6$ para ordenar en triples (excepto a lo largo de la diagonal inferior derecha):

Pero no todos los múltiplos de $6$ tienen $\Phi(n) < 1/3$ por ejemplo $n = 2^k\cdot 3$ y no todos $n$ con $\Phi(n) < 1/3$ son múltiplos de $6$ siendo el más pequeño $770 = 2\cdot 5\cdot 7 \cdot 11$ .

Para responder en parte a la última de mis preguntas: Así es como se distribuyen los enteros divisibles por 8 y 10 (la segunda imagen que da el plano para el caso $\Phi(n) < 1/5$ ):

Observa que en la imagen de la derecha las "flechas" (5-tuplas) van en sentido contrario a las agujas del reloj.