Teoremas en la forma de "si y solo si" de tal manera que la prueba de una dirección es extremadamente fácil de probar y la otra es extremadamente DIFÍCIL

Question

Creo que este es un fenómeno común en las matemáticas, pero, sorprendentemente, no hay tal lista se ha creado en este sitio. No sé si es de valor, sólo por curiosidad, quiero ver más ejemplos. Así que mi petición es:

Teoremas en la forma de "si y sólo si" de que la prueba de una sola dirección es extremadamente FÁCILo intuitivo, o hacer uso de algunas técnicas estándar (por ejemplo, diagrama de perseguir a), mientras que la otra es muy DURO, o en contra de la intuición, o requieren una cierta cantidad de creatividad. El 'si y sólo si' formulación debe ser tan natural como sea posible.

Gracias de antemano.

Edit: sé que esta pregunta es algo mal planteado. Uno mejor: Teoremas en la forma de "si y sólo si" tales que las pruebas de AMBAS direcciones son triviales

Answer 1

Deje que $n$ sea un entero positivo. La ecuación $x^n+y^n=z^n$ se puede resolver en enteros positivos $x,y,z$ iff $n\le2$ .

Answer 2

"Un colector de 3 compactos se conecta de forma simple si y solo si es homeomorfo a la esfera de 3".

Una dirección [solo si] es la conjetura de Poincaré. La otra dirección no debería ser tan mala con suerte.

Answer 3

Las bisectrices de dos ángulos de un triángulo son de igual longitud si y solo si los dos ángulos bisecados son iguales. Si los dos ángulos son iguales, el triángulo es isósceles y la prueba es muy fácil. Sin embargo, probar que un triángulo debe ser isósceles si las bisectrices de dos de sus ángulos tienen la misma longitud parece ser bastante difícil.

Answer 4

Todos los gráficos planos son $n$ -colorables sif $n\ge4$ .

Answer 5

La parte difícil no es tan difícil como algunas de las otras respuestas, pero quizás la formulación "si y solo si" es más natural: el teorema de Kuratowski es que una gráfica es plana si y solo si no tiene un subgrafo que es una subdivisión de ya sea $K_{3,3}$ o $K_5$ .