$L^2(\mathbb{R})$ de la secuencia tales que $\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)g(x)d\mu(x)=0$

Question

Actualmente estoy estudiando para un análisis de examen de calificación, y este problema ha sido que me molesta: Supongamos que tenemos una secuencia $\{f_n\}$ $L^2(\mathbb{R})$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty}||f_n||_2^2<\infty$ $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)=0$ para casi todas las $x\in\mathbb{R}$. A continuación, para cada $g\in L^2(\mathbb{R})$, $\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)g(x)d\mu(x)$ existe y es igual a cero.

Mi primer pensamiento fue el uso de Cauchy-Schwarz, pero el problema es que la norma de $f_n$ es el cuadrado de la suma anterior. Mi otra idea era probar y usar algo como el Teorema de Convergencia Dominada en una función de $h_m(x)=\sum_{n=1}^{m}f_n(x)$, pero creo que me estoy olvidando de algo fácil acerca de la relación entre el$|f_n(x)|$$||f_n||_2$. Los punteros se agradece. Gracias de antemano!

Answer 1

Bastante seguro de que es falso - tal vez usted debe verificar con los chicos que escribió el examen.

Va a ser un contraejemplo en $L^2([0,1])$,$g=1$.

Decir $(I_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia de distintos intervalos de con $|I_n|=2^{-n}$. Definir $$F_1=\chi_{I_1}$$and $$F_n=2^{n-1}\chi_{I_n}-2^{n-2}\chi_{I_{n-1}}\quad(n>1).$$

A continuación, $\sum F_n=0$ en casi todas partes. Pero $\int F_1=1/2$$\int F_n=0$$n>1$, lo $\sum\int F_n\ne 0$.

(Si la última frase es falsa es un off-by-one de error, cansado; y este es sólo uno de los estándar de ejemplos donde $\int\sum\ne\sum\int$.)

Así que es un contraejemplo, excepto que $\sum||F_n||_2^2=\infty$. Podemos arreglar eso:

Decir $F\in L^2$. Deje $f_j=F/n$. Entonces $$\sum_{j=1}^n||f_j||_2^2=\frac1n||F||_2^2.$$So: Let $(f_j)$ be the sequence consisting of $n_1$ copies of $F_1/n_1$ followed by $n_2$ copies of $F_2/n_2$, etc. The other things we want get inherited from the sequence $(F_n)$ (details on request), while if $n_j\to\infty$ fast enough we also have $\sum||f_j||_2^2<\infty$.