Los grupos de homotropía de los étale topos de un esquema fueron definidos por Artin y Mazur. ¿Son conocidos por Spec Z? Ciertamente π 1 es trivial porque Spec Z no tiene cubiertas de étales unramificados, pero ¿qué se sabe de los grupos de mayor homotropía?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$Spec(\mathbb{Z})$ sólo debe considerarse como $S^3$ , si se "compacta" es decir se añade el punto en el lugar real. Esto se demuestra tomando la cohomología con soporte compcat. El tipo de homotopía étalé de $Spec(\mathbb{Z})$ Sin embargo, se puede contraer (de hecho, ¿qué se obtiene al eliminar un punto de una esfera?) para ver esto (todos los resultados se encuentran en el Libro de Dualidades Aritméticas de Milne)
(Deja que $X=Spec(\mathbb{Z})$ )
1) $H^r_c(X_{fl},\mathbb{G}_m)=H^r_{c}(X_{et},\mathbb{G}_m) = 0$ para $r \neq 3$ .
2) $H^3_c(X_{fl},\mathbb{G}_m)=H^3_{c}(X_{et},\mathbb{G}_m) = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$
3) por 2+1, tenemos:
$H^3_c(X_{fl},\mu_n)= \mathbb{Z}/n$
$H^r_c(X_{fl},\mu_n)= 0$ para $r \neq 3$ .
4) ya que tenemos una dualidad $$H^r(X_{fl},\mathbb{Z}/n)\times H^{3-r}_c(X_{fl},\mu_n) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} $$ tenemos
5) $H^0(X_{fl},\mathbb{Z}/n) = H^0(X_{et},\mathbb{Z}/n) = \mathbb{Z}/n,$
$H^r(X_{fl},\mathbb{Z}/n) = H^r(X_{et},\mathbb{Z}/n) = 0$ , $r >0$
6) Ahora bien, como $\pi_1$ es trivial tenemos por el Teorema del Coeficiente Universal, el Teorema de Hurewicz y el teorema de profinidad para la homotopía \'etale que todos los grupos de homotopía son cero.
Keith Sirmons
Puntos
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Si etale pi_1 clasifica las obstrucciones a la trivialización de las álgebras Z finitas planas no ramificadas, estaría bien que todo el tipo de homotopía etale clasificara las obstrucciones a la trivialización de las álgebras Z simpliciales conmutativas que fueran finitas, planas y no ramificadas en un sentido homotópico. Creo que todas estas nociones tienen sentido: "finito" significa que los grupos de homotopía desaparecen en grados altos y están generados finitamente, "plano" significa que estos grupos de homotopía no tienen torsión, y "no ramificado" significa que el complejo cotangente es cero. ¿Es eso cierto?
Es de suponer que los topólogos algebraicos han pensado en la versión del espectro de la esfera de esta cuestión. ¿Existen espectros de anillos E-infinitos conectivos que sean finitos, planos y no ramificados sobre la esfera?
Después de los comentarios de Tyler, veo que es una mala analogía. El diccionario entre gavillas de conjuntos localmente constantes etale y álgebras planas finitas no ramificadas (que en una dirección toma un álgebra y asocia la gavilla de secciones de su espectro sobre Spec Z) no se extiende a un diccionario entre gavillas localmente constantes de estilo homotópico y álgebras planas finitas no ramificadas de estilo homotópico.
