Resuelve la ecuación funcional$f(xy) = f(x)f(y) - f(x + y) + 1$ y$f(1) = 2$

Question

Ya estoy trabajando en este problema, el dominio y el co-dominio son el conjunto de Rational Numbers. vemos que al configurar$x = 1$ y$y = n$, obtenemos$f(n + 1) = f(n) + 1$

Pero estoy tratando de demostrar que$f(n) = n + 1$ para todos$n$, el caso cuando$n = 1, 2$ es obviamente cierto, ¿cómo me acerco a esto por inducción?

Answer 1

La condición de $f(1)=2$ es innecesario. Las únicas funciones que se $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{C}$ sastisfying $$f(xy)=f(x)\,f(y)-f(x+y)+1\tag{$\estrella de$}$$ son la constante de la función de $f\equiv 1$ y la función de $f(x)=x+1$ todos los $x\in\mathbb{Q}$.

En primer lugar, como ajotaxe observado, $f(0)=1$. Si $f(1)=1$, entonces obtendremos de $(\star)$ que $$f(x)=f(x\cdot 1)=f(x)\,f(1)-f(x+1)+1=f(x)-f(x+1)+1$$ para todos los $x\in\mathbb{Q}$. Esto significa $f(x+1)=1$ todos los $x\in\mathbb{Q}$, lo que conduce a $f\equiv 1$. A partir de ahora, vamos a suponer que $f(1)\neq 1$.

Conectando $x:=1$ $y:=-1$ a $(\star)$, tenemos $$f(-1)=f(1)\,f(-1)\,.$$ Debido a $f(1)\neq 1$, debemos tener $f(-1)=0$. Poner a $y:=-1$ rendimientos $$f(-x)=-f(x-1)+1\,.\tag{*}$$ Ahora, conectar $x:=1$ $y:=-2$ a $(\star)$, obtenemos $$f(-2)=f(1)\,f(-2)-f(-1)+1=f(1)\,f(-2)+1\,.$$ El uso de $(*)$,$f(-2)=-f(1)+1$, por lo que la ecuación anterior se traduce en $$-f(1)+1=-\big(f(1)\big)^2+f(1)+1\,.$$ Esto le da $$\big(f(1)\big)^2-2\,f(1)=0\,.$$ Es decir, $f(1)=0$ o $f(1)=2$.

Si $f(1)=0$, $y:=1$ a $(\star)$ conduce a $$f(x)=-f(x+1)+1\,.\tag{$\Cuadro de$}$$ Esto demuestra que $f(n)=\frac{1+(-1)^n}{2}$ para cada entero $n$, y de $(\Box)$, obtenemos $$f(x+2)=f(x)$$ para todos los $x\in\mathbb{Q}$. Ahora, si sustituimos en $y:=n$ a $(\star)$ donde $n$ es un entero par, entonces $$f(xn)=f(x)\,f(n)-f(x+n)+1=f(x)-f(x)+1=1$$ para cada $x\in\mathbb{Q}$. Por lo tanto, sustituyendo $x:=\frac{1}{2}$ $n:=2$ en la ecuación anterior, obtenemos $$0=f(1)=f\left(\frac{1}{2}\cdot 2\right)=1\,,$$ lo cual es absurdo. Por lo tanto, $f(1)\neq 0$, y por lo $f(1)=2$ como se requiere.

Ahora, $(\star)$ $y:=1$ implica que $$f(x+1)=f(x)+1$$ para todos los $x\in\mathbb{Q}$. Ergo, podemos ver que $f(n)=n+1$ para cada entero $n$. En consecuencia, para un número racional $x=\frac{p}{q}$ donde$p,q\in\mathbb{Z}$$q>0$, tenemos $$p+1=f(p)=f\left(\frac{p}{q}\cdot q\right)=f\left(\frac{p}{q}\right)\,f(q)-f\left(\frac{p}{q}+q\right)+1=(q+1)\,f\left(\frac{p}{q}\right)-f\left(\frac{p}{q}\right)-q+1\,.$$ Por lo tanto, $$f(x)=f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p+q}{q}=\frac{p}{q}+1=x+1\,,$$ como se desee.

P. S.: es una pregunta muy interesante, ¿qué sucede si el dominio se extiende a $\mathbb{R}$. Todo lo que sé es que, si una función no constante $f:\mathbb{R}\to\mathbb{Q}$ satisface $(\star)$, luego $$f(x+r)=f(x)+r$$ y $$f(rx)=r\,f(x)-r+1$$ para todos los $x\in\mathbb{R}$$r\in\mathbb{Q}$.

Answer 2

Para$x=y=0$,$$f(0)=f(0)^2-f(0)+1$ $ Entonces$f(0)=1$.

Con la ecuación$f(n+1)=f(n)+1$, la tiene (vea el comentario de Thomas Andrews).