Aquí está mi pregunta: demuestre que hay una secuencia de incrementos de enteros positivos$n_i$ tal que el límite de$\sin(n_i)$ existe como$i \to \infty $. El problema con esta pregunta es ... ¡No sé cómo empezar! ¿La función seno no fluctúa entre -1 y 1? ¿Cómo existiría un límite si sigue yendo y viniendo? Gracias por cualquier ayuda que me des! :)
Respuestas
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Tome$a_n = \sin (n)$ entonces, ya que$[-1,1] \supset \bigcup_{n=0}^{\infty} a_n$ y$[0,1]$ es compacto; estos puntos tienen un punto de acumulación en$[-1,1]$.
Por lo tanto, ha encontrado$a_{k_n} \rightarrow A$, para encontrar una secuencia creciente de índices use el hecho cuando tiene$\phi :\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ y también$a_{\phi(k_n)}\rightarrow A$.
Did
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Una consecuencia del teorema de aproximación de Dirichlet es que existen infinitos enteros positivos$n_k$, de manera que$\left|\pi-\dfrac{p_k}{n_k}\right|\leqslant\dfrac1{n_k^2}$ para algunos enteros$p_k$. Entonces$|n_k\pi-p_k|\leqslant\dfrac1{n_k}$ por lo tanto$|\sin(p_k)|\leqslant\dfrac1{n_k}$. En particular,$\sin(p_k)\to0$ cuando$k\to\infty$.
Andreas Blass
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La secuencia cuyo$n$ - th término es$\sin n$ es una secuencia limitada (por$\pm1$) de números reales. Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una subsecuencia convergente. (Sin duda, deberías hacer las paces con este teorema antes de preocuparte por cosas más avanzadas como el Teorema de Dirichlet o Thue-Roth-Siegel).
RawX
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Sugerencia: en los Reales, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial, es decir, si $x_n \rightarrow x $,$f(x_n) \rightarrow f(x) $ . Y $\sin x$ es continua.
Edit: a Lo que me refería es que podemos utilizar una secuencia aproximada de un múltiplo de $\pi$, y luego el uso secuencial de continuidad. Esto se desprende de Roth-Thue-Siegel. De manera equivalente, por Weil equidistribución teorema de http://en.wikipedia.org/wiki/Equidistribution_theorem en {$n\pi$}, la secuencia de $n\pi$ es equidistributed $mod1$ , por lo que será de forma indefinida-cerca de un entero infinitamente a menudo, dicen en $n_1,n_2,....$. Tomar estos términos $n_i$ de la secuencia que están dentro de $<\epsilon$ de un número entero para la secuencia real $n_i$. A continuación,$n_i -k\pi <\epsilon$ , por lo que el $Sinn_i \rightarrow Sink\pi=0$.
Este es el argumento, que, al parecer tengo para ofrecer, pero otros no: la secuencia de $n \pi; n=1,2,3,...$ considera que la $Mod1$ , es decir, que considere el $nx$ menos los más grandes entero menos de $nx$ , es decir, la parte decimal de $nx$. Estos decimal partes son densos en $[0,1]$. Esto significa, en particular, que para cualquier $\epsilon/n$ , no es un número entero $m$ $m\pi-k < \epsilon $ para algunos entero $k$. Desde $n\pi$ es densa ( $Mod1$ $[0,1]$ ) , podemos encontrar un entero $m_2>m$ , por lo que el $|m_2\pi -k_2| <\epsilon/2$. El mismo puede ser hecho por cualquier $\epsilon/n$ , es decir, podemos encontrar un aumento de la secuencia de enteros $m_i$ , por lo que el $|m_ipi -k_i < \epsilon/I $ . La secuencia de $k_i$ es de forma indefinida -cerca de múltiplos enteros de $\pi$. A continuación,$sink_i \rightarrow sin\pi=0$.
