Encontrar probabilidad de rv discreta conjunta

Question

Deje $X$ distribución de poisson con parámetro de $\lambda$ $Y$ geométrica con parámetro de $p$. Encontrar $P(Y>X)$. ($\bf independent$)

Intento

Sabemos $p_X(x) = \frac{ e^{-\lambda} \lambda^x }{x!} $$p_Y(y) = (1-p)^{y-1} p$. Ahora, tenemos la región de $\{(x,y) : y>x \}$ para los números enteros $x,y$. Queremos suma más de esta región. Mi pensamiento es de primer suma de $y$ $1$ $\infty$ $x$entre $y$$\infty$. Por lo tanto,

$$ P(Y>X) = \sum_{y=1}^{\infty} \sum_{x=y}^{\infty} \frac{ e^{-\lambda} \lambda^x }{x!} (1-p)^{y-1} p = pe^{-\lambda} \sum_{y=1}^{\infty} (1-p)^{y-1} \sum_{x=y}^{\infty} \frac{ \lambda^x}{x!} = p e^{-\lambda} \frac{1}{1-1+p} \sum_{x=y}^{\infty} \frac{ \lambda^x}{x!} = e^{- \lambda} \sum_{x=y}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}$$

Aquí es donde me quedo atascado. Mi respuesta clave dice que debería $e^{- \lambda p }$. Pero no puedo conseguir a esta respuesta. Alguna ayuda?

Answer 1

\begin{align} P(Y>X)&=\sum_{n=0}^\infty P(Y>n)P(X=n)\\ &=\sum_{x=0}^\infty (1-p)^n\left(\frac{ e^{-\lambda} \lambda^n }{n!}\right)\\ &=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty \frac{(q\lambda)^n }{n!};\quad q=1-p\\ &=e^{-\lambda}e^{q\lambda}\\ &=e^{q\lambda-\lambda}=e^{-(1-q)\lambda}\\ &=e^{-\lambda p} \end{align}