Encuentre la solución de la ecuación diferencial$\frac{dy}{dx}=x^2y$ que satisface$y(0)=5$

Question

No estoy del todo seguro de que estoy en el camino correcto, y mi maestro parecían volar a través de esta sección, así que realmente no entiendo lo que estoy haciendo.

De todos modos, aquí está de nuevo el problema:

Encontrar la solución de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=x^2y$ satisfacción $y(0)=5$

Por repetición sé que hacer lo siguiente...

$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$ $$\int\frac{dy}{y}=\int x^2dx$$ $$ln|y|=\frac{x^3}{3}+C$$

Así que, a continuación, utilizando el valor inicial de la condición...

$$ln|5|=\frac{(0)^3}{3}+C$$

Por lo $C=ln|5|$ a continuación he utilizado este valor de $C$ a resolver para y:

$$ln|y|=\frac{x^3}{3}+ln|5|$$ $$ln|y|=\frac{x^3+ln|5|}{3}$$ $$|y|=e^\frac{x^3+ln|5|}{3}$$

Así que llegué aquí y no estaba seguro de si estaban en lo correcto y no sabía qué hacer con los valores absolutos. Estoy en el camino correcto?

Answer 1

$\ln|y|={x^3\over 3}+\ln 5\implies e^{\ln|y|}=e^{{x^3\over 3}+\ln 5}\implies |y|=e^{x^3/3}e^{\ln 5}\implies y=5e^{x^3/3}$

El último paso se mantiene desde$e^{x^3/3}e^{\ln 5}>0$.

(Tenga en cuenta que tiene un error de álgebra en su próxima ecuación mostrada).