Sobre la definición de ideal (¿es un subring?)

Question

Mi libro define un ideal para ser una subring de R tal que$xr \in I$ y$rx \in I$, siempre que$r \in R$ y$x \in I$. Sin embargo, por definición, cualquier subring de un anillo con unidad debe contener unidad. De modo que se deduce que en cualquier anillo con unidad, el único ideal es él mismo.

Seguramente mi razonamiento es incorrecto, pero no puedo averiguar a qué me equivoco.

Answer 1

Si su libro es la definición de un ideal a ser un sub-anillo de $R$ con la multiplicación de la propiedad que se describe anteriormente, entonces es casi seguro que un sub-anillo de un anillo con unidad no necesita contener la unidad, porque, como usted ha señalado, esto implicaría que el único ideal de un unital anillo de los anillos de enteros. Esta definición nos pueden causar un montón de problemas por muchas razones: por ejemplo, la declaración de que todos los ideales es el núcleo de algunos de anillo homomorphism y viceversa iba a fallar de forma masiva. Para resolver este dilema, se podría decir que un ideal es simplemente un subgrupo aditivo de el anillo con la "absorción" de la multiplicación de la propiedad que se describe anteriormente, o usted podría permitir que unital anillos de tener nonunital subrings (por ejemplo,$n\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}$$n\neq\pm 1$).

Answer 2

Un ideal no necesita contener la unidad. Considere el anillo$\mathbb{Z}$ (que tiene la unidad$1$) y el conjunto$2\mathbb{Z} = \{ 2z \in \mathbb{Z} : z \in \mathbb{Z}\}$. Es fácil comprobar que$2\mathbb{Z}$ es un subring.

Luego, para todos los$z\in \mathbb{Z}$ y todos los$z' \in 2\mathbb{Z}$, tenemos ese$zz' \in 2\mathbb{Z}$, como deseamos.