$(12) \notin \langle (132), (123456) \rangle$

Question

¿Cómo puedo probar / refutar eso como un elemento de$S_6, $ $(12) \notin \langle (132), (123456) \rangle$%. Podemos usar GAP para verificar esto, pero a mano no parece tan obvio.

Deje que$r=(123456)$ sea impar y$s=(132)$ sea par, por lo que cualquier palabra en {$r^{\pm},{s^{\pm}}$} puede dar una permutación impar, así como par.

Answer 1

GAP me dice esto:

 gap> G := Group((1,3,2), (1,2,3,4,5,6));
Group([ (1,3,2), (1,2,3,4,5,6) ])
gap> (1,2) in G;
true
gap> GeneratorsOfGroup(G);
[ (1,3,2), (1,2,3,4,5,6) ]
gap> Factorization(G, (1,2));
(x2^2*x1^-1)^2*x2
 

Answer 2

Por mano:$$(1\ 2)=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^4(1\ 3\ 2)(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^4(1\ 3\ 2)(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^5$ $

Así es como lo resolví:$$(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)=(1\ 2)(2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ $ así que$$(1\ 2)=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)(2\ 3\ 4\ 5\ 6)^{-1}=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)[(2\ 3\ 4)(4\ 5\ 6)]^{-1}$ $ y por supuesto$$(2\ 3\ 4)=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)(1\ 2\ 3)(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^{-1}=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)(1\ 3\ 2)^{-1}(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^{-1}$ $ y$$(4\ 5\ 6)=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^3(1\ 2\ 3)(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^{-3}=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^3(1\ 3\ 2)^{-1}(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)^{-3}$ $ etc.

Answer 3

$(1\,3\,2)$ significa que usted puede hacer un cíclica permutación de cualquiera de los tres vecinos en el ciclo largo, por conjugación con un múltiplo de $(1\,2\,3\,4\,5\,6)$.

En particular, puede mover un elemento en dos lugares a la izquierda o a la derecha en el orden cíclico. Dado que hay un número impar de otros elementos para saltar, mover un elemento de todo el camino alrededor de la gran ciclo en los pasos de los dos dejará que se intercambia con su vecino.

Por lo tanto, podemos hacer $({}^1_2 {\,}^2_3 {\,}^3_1 {\,}^4_4 {\,}^5_5 {\,}^6_6) = (1\,3\,2)^2$ y, a continuación, (multiplicando por la derecha, con un adecuado conjugado) $({}^1_2 {\,}^2_3 {\,}^3_4 {\,}^4_5 {\,}^5_1 {\,}^6_6)$ y, a continuación,$({}^1_1 {\,}^2_3 {\,}^3_4 {\,}^4_5 {\,}^5_6 {\,}^6_2)$. Finalmente girar a la derecha una vez para obtener los $({}^1_2 {\,}^2_1 {\,}^3_3 {\,}^4_4 {\,}^5_5 {\,}^6_6) = (1\,2)$