PNT para funciones zeta generales, aplicaciones de.

Question

Cuando lo leí por primera vez, encontré todo el esfuerzo para probar el Teorema de los Números Primos y el éxito final como magnífico. Así que estoy curioso por conocer resultados más generales.

Hablamos de funciones $\zeta$ complejas y funciones $L$. Como una lista preliminar, fijamos la siguiente lista. Pero siéntete libre de agregar más.

$1$. Función $\zeta$ de Riemann.

$2$. Función $\zeta$ de Dedekind para un campo numérico.

$3$. Funciones $L$ de Artin para un carácter del grupo de Galois de algún campo numérico.

$4$. Funciones Zeta de variedades algebraicas sobre campos numéricos; para obtener una continuación analítica hasta $s = 0$, por ejemplo, fijamos la función zeta de una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$ que es modular en el sentido de Eichler-Shimura.

Me preocupa $4$ aquí, ya que el requisito de que la función zeta tenga un polo en $s=1$ no se cumple, y por lo tanto no capturamos el término principal del residuo allí. ¿Es posible algo en este caso? Si es así, podemos considerarlo y también funciones zeta más generales de variedades algebraicas sobre cualquier campo finitamente generado, funciones zeta de representaciones de Galois, etc. que tienen continuación analítica hasta $s=0$ y la pregunta podría extenderse a esos casos también.

Contamos con el teorema original de los números primos, en la siguiente forma,

$\pi (x) = \frac{x}{log x} + O(termino\ de\ error)$.

que se prueba mediante la integración de la función zeta de Riemann a lo largo de un contorno rectangular que incluye $s = 1$, y dejando que los bordes verticales se alarguen cada vez más, y estimando las integrales. La referencia que tengo en mente es Ram Murty, Problemas en la teoría analítica de números, o el libro de J. Ayoub.

Ahora las preguntas:

¿Qué se conoce sobre un teorema de los números primos similar para funciones $\zeta$ y $L$ más generales?

Puedo imaginar que será bastante directo para la función zeta de Dedekind. Pero luego tengo curiosidad por el término de error.

Para el resto de los casos, ¿se puede extender una prueba similar del PNT? Más importante aún,

¿Cuál es el "significado" del teorema de los números primos en estos casos generales?

Finalmente,

¿Cuáles son algunas aplicaciones (a otros problemas) de tal teorema de los números primos demostrado con un buen término de error?

Las aplicaciones del PNT original son, por supuesto, bien conocidas, como se describen en los libros de Titchmarsh y Heath-Brown, o Ivic, o en el libro más moderno de Iwaniec y Kowalski.

Answer 1

La respuesta en una línea a tu pregunta es la conjetura de Sato-Tate. Es posible que puedas buscar más sobre esto en una discusión expositiva y buscar en el libro de representaciones l-ádicas abelianas de Serre para encontrar una prueba en el contexto de curvas elípticas modulo propiedades de funciones L motivicas (ahora establecidas por Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Shin y Taylor).

Para esto, y para otras aplicaciones también, es importante que los motivos irreducibles no triviales (conjeturalmente) tengan funciones L sin polo; solo el motivo trivial contribuye a los polos.

Para aplicaciones de la PNT para la función zeta de Dedekind, podrías mirar la prueba de Hooley de la conjetura de raíz primitiva de Artin, condicional a GRH. (Necesita GRH porque suma un infinito de términos de error, y necesita una estimación lo suficientemente buena en ellos como para controlar aún su suma.)

Agregado: Además, para las funciones L de Artin, la PNT es la densidad de Cebotarev (aunque esto fue realmente demostrado antes, y si entiendo correctamente la historia, fue una fuente de inspiración para Artin).

Para las funciones L de Dirichlet, es el teorema de Dirichlet sobre primos en progresión aritmética.

Finalmente, permíteme señalar que la condición de que solo el motivo trivial (y sus torsiones de Tate) debería dar una función L con un polo (es decir, el único polo en las funciones L debería provenir de factores de la forma ζ(s) o ζ(s + n)) es una condición teórica de Fourier, análoga al teorema de que para una representación irreducible de un grupo, el valor promedio del carácter es cero excepto para la representación trivial. (Para comprender lo que esto significa, examina la demostración de Dirichlet de este teorema y observa cómo interactúa el hecho teórico del carácter que mencioné anteriormente con el estudio de los polos y ceros de las funciones L.) (Para ser un poco más preciso, uno debería combinar esta condición en los polos con una condición correspondiente en los ceros, es decir, que, después de normalizar de tal manera que la ecuación funcional relacione s y 1-s, de modo que la línea crítica es Re s = 1/2, debería ser el caso que no hay ceros en la línea Re s = 1).

Agregado en respuesta a los comentarios de Anweshi: Debería decir que cuando mencioné el teorema de Dirichlet y Cebotarev, me refiero a las versiones cuantitativas, que dan asintóticas correctas.

Answer 2

Hola Anweshi,

Desde Emerton respondió a su tercer gris-caja pregunta muy bien, voy a tratar en los dos primeros. Supongamos $L(s,f)$ es uno de los L-funciones que se enumeran (incluyendo los dos primeros, que bien podríamos llamar de L-funciones demasiado). (Para simplificar, siempre nos normalizar así la ecuación funcional es inducida por $s\to 1-s$.) Este chico tiene una expansión $L(s,f)=\sum_{n}a_f(n)n^{-s}$ como una de Dirichlet de la serie, y el más general del teorema de los números primos lee

$\sum_{p\leq X}a_f(p)=r_f \mathrm{Li}(x)+O(x \exp(-(\log{x})^{\frac{1}{2}-\varepsilon})$.

Aquí $\mathrm{Li}(x)$ es la logarítmica integral, $r_f$ es el orden del polo de $L(s,f)$ en el punto de $s=1$, y la implícita constante depende de $f$$\varepsilon$.

Vamos a descansar para que sus ejemplos.

1) La de Riemann zeta función tiene un simple poste de $s=1$ $a_f(p)=1$ todos los $p$, por lo que este es el clásico teorema de los números primos.

2) La Dedekind zeta función (digamos de un grado d de extensión de la $K/\mathbb{Q}$) es un poco diferente. También tiene un simple poste de $s=1$, pero los coeficientes se determinan por la regla: $a(p)=d$ si $p$ se divide completamente en $\mathcal{O}_K$, e $a(p)=0$ lo contrario. Por lo tanto, el primer número teorema en este caso lee

$|p\leq X \; \mathrm{with}\;p\;\mathrm{totally\;split\;in}\;\mathcal{O}_K|=d^{-1}\mathrm{Li}(x)+O(x \exp(-(\log{x})^{\frac{1}{2}-\varepsilon})$.

Este ya tiene aplicaciones muy interesantes: el hecho de que la proporción de números primos dividir totalmente es $1/d$ fue muy importante en las primeras pruebas de los principales resultados generales de campo de la clase de teoría.

3) Si $\rho:\mathcal{G}_{\mathbb{Q}}\to \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ es un Artin representación, a continuación,$a(p)=\mathrm{tr}\rho(\mathrm{Fr}_p)$. Si $\rho$ no contiene la representación trivial, a continuación, $L(s,\rho)$ no tiene polos en el barrio de la línea de $\mathrm{Re}(s)\geq 1$, por lo que tenemos

$\sum_{p\leq X}\mathrm{tr}\rho(\mathrm{Fr}_p)=O(x \exp(-(\log{x})^{\frac{1}{2}-\varepsilon})$.

La ausencia de un polo no es un problema: simplemente significa que no hay ningún término principal! En este caso particular, se podría interpretar la ecuación anterior diciendo que "$\mathrm{tr}\rho(\mathrm{Fr}_p)$ tiene una media de valor cero.

4) Para una curva elíptica, el mismo fenómeno se produce. Aquí de nuevo hay ningún polo, y $a(p)=\frac{p+1-|E(\mathbb{F}_p)|}{\sqrt{p}}$. Por un teorema de Hasse estos números satisfacer $|a(p)|\leq 2$, por lo que usted puede pensar en ellos como el (en escala) desviación de $|E(\mathbb{F}_p)|$ de su "valor esperado" de $p+1$. En este caso, el primer número teorema de lee

$\sum_{p\leq X}a(p)=O(x \exp(-(\log{x})^{\frac{1}{2}-\varepsilon})$

así que usted podría decir que "la desviación media de $|E(\mathbb{F}_p)|$ $p+1$ es cero".

Ahora, ¿cómo se puede demostrar que las generalizaciones del teorema de los números primos? Hay dos pasos principales en este, uno de los cuales es fácilmente levantado desde el caso de la de Riemann zeta función.

1. Demostrar que el teorema de los números primos para $L(s,f)$ es una consecuencia de la nonvanishing de $L(s,f)$ en una región de la forma $s=\sigma+it,\;\sigma \geq 1-\psi(t)$ $\psi(t)$ positivo y tiende a cero, como se $t\to \infty$. Así que esta es una región que es un muy ligero ensanchamiento de $\mathrm{Re}(s)>1$. La prueba de este paso es esencialmente el contorno de integración y va exactamente igual que en el caso de la $\zeta$-función.

2. En realidad, producen un cero región del tipo que acabo de describir. La clave para ello es la existencia de un auxiliar L-función (o producto de la misma) que ha coeficientes positivos en su Dirichlet de la serie. En el caso de la de Riemann zeta función Hadamard trabajado con el auxiliar de la función $ A(s)=\zeta(s)^3\zeta(s+it)^2 \zeta(s-it)^2 \zeta(s+2it) \zeta(s-2it)$. Nota el polo de orden $3$$s=1$; por otro lado, si $\zeta(\sigma+it)$ desaparecido, a continuación, $A(s)$ desaparecerían en $s=\sigma$ a fin de $4$. La desigualdad de $3<4$ de la orden de polaridad/cerca-de-fin-de-fuga nos lleva a través de algunos análisis a la ausencia de cero en el rango de $s=\sigma+it,\;\sigma \geq 1-\frac{c}{\log(|t|+3)}.$ En el caso general, la construcción de las correspondientes funciones auxiliares es más complicado. Para el caso de un Artin representación, por ejemplo, usted puede tomar $B(s)=\zeta(s)^3 L(s+it,\rho)^2 L(s-it,\widetilde{\rho})^2 L(s,\rho \otimes \widetilde {\rho})^2 L(s+2it,\rho \times \rho) L(s-2it,\widetilde{\rho} \times \widetilde{\rho})$. La clave general es el Rankin-Selberg L-funciones, o más complicada L-funciones cuya analítica de las propiedades pueden ser controladas por los casos conocidos de Langlands functoriality.

Si quieres ver todo lo que me acaba de decir llevó a cabo de forma elegante y en el cristalino detalle, no puedo hacer nada mejor que recomendar el Capítulo 5 de Iwaniec y Kowalski del libro "Teoría Analítica de números."

Answer 3

Si deseas límites para el primo más pequeño con cierto comportamiento en un campo de extensión dado, necesitarás Cebotarev con estimaciones del término de error. Esto es importante incluso en la teoría clásica de números, por ejemplo, estimando el menor no residuo cuadrático modulo $p$, en términos de $p$, por ejemplo. Del mismo modo, si deseas saber el menor $p$ para el cual la traza de Frobenius $a_p$ de una curva elíptica fija $E$ se encuentra en un intervalo dado $[\alpha\sqrt{p},\beta\sqrt{p}]$, necesitarás la PNT para la función L de $E$ y así sucesivamente.