Extensión abeliana de Kummer

Question

Una extensión de campo de la forma $\mathbb{Q}(\zeta_n, \sqrt[n]{\beta})$ donde $\zeta_n$ es una primitiva $n$ raíz de la unidad y $\beta \in \mathbb{Q}(\zeta)$ se llama extensión de Kummer.

Aunque $\mathbb{Q}(\zeta_n, \sqrt[n]{\beta})/\mathbb{Q}(\zeta_n)$ y $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ son de Galois y abelianas no siempre se da el caso de que $\mathbb{Q}(\zeta_n, \sqrt[n]{\beta})/\mathbb{Q}$ es Galois.

Pregunta: Si $\mathbb{Q}(\zeta_n, \sqrt[n]{\beta})/\mathbb{Q}$ es Galois ¿será abeliano?

Answer 1

No. Puede ser diédrico: toma $n=3$ y $\beta=2$ para obtener el campo de división de $x^3-2$ como su campo $\mathbb{Q}(\zeta_n, \sqrt[n]{\beta})$ . El grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ es un subgrupo transitivo de $S_3$ (considerado como el grupo diédrico de orden $6$ ) que contiene una transposición (conjugación compleja) y por tanto es igual a $S_3$ .