Contraejemplo de que una matriz no es una matriz de correlación

Question

¿Hay algún ejemplo de $n \times n$ matriz que:

• es de valor real y simétrico con entradas entre $-1$ y $+1$
• tiene elementos diagonales iguales a $1$
• tiene un determinante no negativo
• tiene un determinante no negativo para cada líder principal menor

pero es no es una matriz de correlación es decir, es no es semidefinido positivo ?

Conozco bien el criterio de Sylvester para la definición positiva, que requiere todo los menores principales deben ser no negativos para garantizar la semidefinición positiva. Sin embargo, para las matrices estructuradas del formato especificado (tipo de matriz de correlación), nunca me encontré con un ejemplo real que ilustrara la sutil diferencia.

Answer 1

Sí, un ejemplo sencillo es $$ A=\pmatrix{1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&-1\\ 1&1&-1&1}. $$ Obviamente, la primera entrada de $A$ es positivo, mientras que el segundo, tercero y cuarto menores principales de $A$ son todos cero porque las submatrices correspondientes tienen al menos dos filas idénticas. Sin embargo, cuando $x=(1,1,-2,-2)^\top$ tenemos $x^\top Ax=-12<0$ . El principal de la cola $3\times3$ menor de $A$ es negativo ( $-4$ ) en este caso. Si se tratara de una matriz de covarianza, las variables 3 y 4 estarían correlacionadas negativamente, pero cada una de ellas está perfectamente correlacionada con las variables 1 y 2, lo cual es absurdo.