¿Hay una solución algebraica para$e^{-x/a}+e^{-x/b}=1$ ($a\neq b$,$a,b$ constantes)?

Question

Hay una solución algebraica para encontrar la intersección de las dos funciones siguientes para los valores de $x\geq 0$:
$$f_1(x)=1-2e^{-x/a}=f_2(x)=-1+2e^{-x/b}$$
$a$ $b$ son constantes positivas.

La ecuación se puede simplificar a:
$$e^{-x/a}+e^{-x/b}=1$$

Una Parcela está aquí:

Estoy buscando el $x$-valor de la intersección en la segunda trama (esto es para una recuperación de la inversión experimento inf resonancia magnética).

Si no hay ninguna solución algebraica, puede sugerir un algoritmo numérico para este problema?

Gracias

Answer 1

Estoy de acuerdo con las sugerencias en los comentarios de que para la mayoría de los valores de$a,b$ no habrá una solución algebraica. En cuanto a un algoritmo numérico, ¿está familiarizado con el Método de Newton (a menudo llamado Newton-Raphson)?

Answer 2

Por qué no se reduce a $y^{b/a}+y=1$, entonces usted tiene sólo una familia de un parámetro para resolver.

La solución para $y^r+y=1$, aumentó en un desarrollo en serie de Taylor cerca de $r=1$ es
$$ \frac{1}{2} + \frac{\operatorname{ln} (2)}{4}(r - 1) - \frac{\operatorname{ln} (2)}{8} (r - 1)^{2} - \frac{\operatorname{ln} (2) \bigl(-6 + 2 \operatorname{ln} (2)^{2} - 3 \operatorname{ln} (2)\bigr)}{96} (r - 1)^{3} + \frac{\operatorname{ln} (2) \bigl(2 \operatorname{ln} (2) + 1\bigr) \bigl(\operatorname{ln} (2) - 2\bigr)}{64} (r - 1)^{4} + \operatorname{O} \bigl((r - 1)^{5}\bigr) $$