¿Cómo probar$4\mid n$?

Question

¿Cómo probar que$4\mid n$?

Sabemos que$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}=0.$ $ y$x_1,x_2,\cdots,x_n$ es$1$ o$-1$.

Answer 1

Sugerencia: ¿qué sucede cuando cambia el signo de solo uno de los$x_i$?

Answer 2

Todos los$x_i/x_j$ 's en la suma son 1 o -1. Por lo tanto, necesita un número par de ellos para hacer la suma 0, ya que cada vez que tenga un 1 debe tener otro -1 para cancelarlo y viceversa. Al multiplicar todos los$x_i/x_j$ 's, obtienes 1. Entonces, un número par de$x_i/x_j$' s es igual a -1. Luego, dado que hay tantos$x_i/x_j$ 's igual a 1 como$x_i/x_j$' s igual a -1,$n$ es el doble de ese número par, por lo tanto, divisible por 4.

Answer 3

Probar usando inducción que
$|x_i|=|x_j|\neq0, \ \ \forall \ i,j\Longrightarrow\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}\equiv n \pmod 4:$ $$ \ frac {x_1} {x_2} + \ frac {x_2} {x_3} + \ cdots + \ frac {x_ {n-1}} {x_n} + \ frac {x_n} {x_1} = \\ \ frac {x_1} {x_2} + \ frac {x_2} {x_3} + \ cdots + \ frac {x_ {n-1}} {x_1} + \ left (\ frac {x_ {n-1}} { x_n} + \ frac {x_n-x_ {n-1}} {x_1} \ right) \ equiv \\ \ equiv n-1 + \ frac {x_ {n-1}} {x_n} + \ frac {x_n- x_ {n-1}} {x_1} \ pmod 4 \ equiv \\ (\ text {cases} x_ {n-1} = \ pm x_n) \ equiv n \ pmod 4. $$

Answer 4

Deje$x_i = (-1)^{a_i}$, donde$a_i \in \{0, 1\}$. Nos dan:$$\sum_{\text{cyclic}} (-1)^{a_i + a_{i+1}} = 0$ $ Tenga en cuenta que$(-1)^{x} = 1-2x$ para$x \in \{ 0,1\}$. Por lo tanto, siempre tenemos$$\sum_{\text{cyclic}} (-1)^{a_i + a_{i+1}} = n - 2 \sum_{\text{cyc}} ((a_i + a_{i+1}) \mod 2)$ $ Por lo tanto,$$n = 2 \sum_{\text{cyc}} ((a_i + a_{i+1}) \mod 2)$ $ Ya que$\sum_{\text{cyc}} ((a_i + a_{i+1}) \mod 2) = 2\sum a_i = 0 \mod 2$, deducimos que$n$ es divisible por$4$. También encontramos que en general,$\sum \frac{x_i}{x_{i+1}} \equiv n \mod 4$.