$f(y) \leq f(x)+\nabla f(x)\cdot (y-x) $ y $f(x)\geq 0$ implica que $f$ es constante.

Question

He aquí la cuestión.

Supongamos que $f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ tiene dos derivadas y la matriz hessiana asociada es semidefinida negativa en todas las $\mathbb R^n$ .

Demuestre que para cualquier $x,y\in \mathbb R^n$

$$f(y) \leq f(x)+\nabla f(x)\cdot (y-x) $$

Puedo demostrarlo usando la fórmula de Taylor. Pero la pregunta también dice:

Si además $f(x)\geq 0$ para todos $x\in \mathbb R^n$ entonces demuestre que f debe ser constante. ¿Puedes ayudarme en la segunda parte? Sé que tengo que demostrar que $\nabla f(x)=0, \forall x\in \mathbb R^n$ .

¿Alguna pista?

Answer 1

Supongamos que $\nabla f(x) = c \neq 0$ . Entonces, tenemos $\forall x,y$ $$\tag{1} 0\leq f(y) \leq f(x) + c \cdot (y-x).$$

Tiene que haber un punto $x$ donde $f(x) >0$ (de lo contrario $f(x) = 0$ y el teorema queda demostrado). Ahora tomemos $$ y = x- \frac{2 f(x) }{\lVert c\rVert^2} c .$$ Introdúcelo en (1) y disfruta de la contradicción.

Answer 2

Si $f(y)\geq 0$ para todos $y\in\mathbb{R}^n$ entonces por $f(y) \leq f(x)+\nabla f(x)\cdot (y-x)$ tenemos $$\tag{1}0\leq f(x)+\nabla f(x)\cdot (y-x)\mbox{ for all }x,y\in\mathbb{R}^n.$$ Arreglado cualquier $x\in\mathbb{R}^n$ . Supongamos que $\nabla f(x)\neq 0$ entonces podemos elegir $$y=x+\frac{\nabla f(x)}{|\nabla f(x)|^2}[-2f(x)-1]\in\mathbb{R}^n$$ tal que $$\tag{2}\nabla f(x)\cdot (y-x)=-2f(x)-1.$$ Combinación de $(1)$ y $(2)$ tenemos $0\leq f(x)+(-2f(x)-1)$ o $f(x)\leq -1$ lo que contradice a $f(x)\geq 0$ . Por lo tanto, debemos tener $\nabla f(x)=0$ . Desde $x$ es arbitraria, tenemos $\nabla f(x)=0$ para todos $x\in\mathbb{R}^n$ .