Encuentre la solución general de $xy''-(1+x)y'+y=x^2$ sabiendo que la ecuación homogénea tiene la siguiente solución: $e^{ax}$ , donde $a$ es un parámetro que debe encontrar.
He encontrado que $a=1$ o $a=1/x$ .
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md2perpe
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La ecuación de $xy''-(1+x)y'+y=x^2$ puede ser reescrita como $(xy''-y')+(y-xy')=x^2.$ Después de la división por $x^2$ hemos $$ \frac{xy"-y'}{x^2} + \frac{y-xy'}{x^2} = 1, $$ la cual puede escribirse como $$ \Big( \frac{y'}{x} \Big)' - \Big( \frac{y}{x} \Big)' = 1. $$
Tomando la antiderivada da $$ \frac{y'}{x} - \frac{y}{x} = x + C, $$ que después de la multiplicación con $x$da $$y' - y = x^2+ Cx.$$
Ahora multiplicamos con el factor de integración $e^{-x}$: $$e^{-x} y' - e^{-x} y = x^2 e^{-x} + Cx e^{-x}.$$
El lado izquierdo puede escribirse como un derivado: $$( e^{-x} y )' = x^2 e^{-x} + Cx e^{-x}.$$
Tomando la antiderivada da $$e^{-x} y = -(x^2+2x+2) e^{-x} - C(x+1) e^{-x} + D.$$
Por lo tanto, todas las soluciones de la original de la ecuación diferencial está dada por $$y = -(x^2+2x+2) - C(x+1) + D e^x,$$ donde $C$ e $D$ son dos constantes.
user299698
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Sugerencia. Estás en lo correcto, el caso homogéneo de la lineal la educación a distancia ha $e^x$ como una solución (el parámetro de $a$ se supone que será una constante número real). Tenga en cuenta que $y=-x^2$ es una particular solución. ¿Hay algún otro polinomio solución? Sustituto $y(x)=Ax^2+Bx+C$ en la educación a distancia, a continuación, $$x(2A)-(1+x)(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C)=x^2$$ ¿Qué podemos concluir?
Dr. Sonnhard Graubner
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14300
Sustituir $$y(x)=(-x-1)v(x)$ $ entonces obtenemos $$-x\frac{d^2v(x)}{dx^2(x+1)}+\frac{dv(x)}{dx}(x^2+1)=x^2$ $ dejemos $$\frac{dv(x)}{dx}=u(x)$ $ luego obtengamos $$\frac{du(x)}{dx}+\frac{-x^2-1)u(x)}{x(x+1)}=-\frac{x}{x+1}$ $ con $$\mu(x)=e^{\int\frac{-x^2-1}{x(x+1)}dx}=\frac{e^{-x}(x+1)^2}{x}$ $ obtenemos $$\frac{e^{-x}(x+1)^2}{x}\frac{du(x)}{dx}+\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{-x}(x+1)^2}{x}\right)u(x)=-e^{-x}(x+1)$ $ y esto es $$\int\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{-x}(x+1)^2u(x)}{x}\right)=\int-e^{-x}(x+1)dx$ $ ¿Puedes terminar?
