mapas inducidos en homología

Question

Dejemos que $S^1=I^1/ \partial I^1$ , donde $I^1=[0,1]$ con punto base ${0}$ y $I^n=I^1\times I^1 \times \dots \times I^1$ (n veces). $S^p=S^1 \wedge \dots \wedge S^1 $ donde $\wedge$ es el producto estrella. Ahora definimos $\gamma_1:I^1 \to S^1$ para ser el mapa cociente. Y $\gamma_p=\gamma_1 \wedge \dots \wedge \gamma_1$ (p veces).

Considere el mapa $1 \wedge \gamma_p:I^{p+1} \to I^1 \wedge S^p$ . Ahora restringimos este mapa a la frontera $\partial I^{p+1}$ . Ahora queremos disparar que $(1 \wedge \gamma_p)(\partial I^{p+1})=S^p$ En el libro que estoy leyendo (topología y geometría de Bredon) he encontrado el siguiente cálculo que no entiendo. Pongo un ? en el lugar que no entiendo. $\partial I^{p+1}=(\partial I^1)\times I^p \bigcup I^1 \times(\partial I^p) \to (\partial I^1)\times S^p \bigcup I \times \{ {\star} \} \to^? S^0 \wedge S^p=S^p$

Entonces Bredon también afirma que $1 \wedge \gamma_p:\partial I^{p+1} \to S^p $ induce el isomorfismo en homología: $H_p(\partial I^{p+1},\star) \to H_p(S^p,\star)$ ¿Por qué? De la clase sé que si f es una equivalencia homotópica induce un isomorfismo en homología. Así que pensé que probablemente $(1 \wedge \gamma_p)$ es una equivalencia de homotopía?

Y mi última pregunta: Tengo un mapa (inducido por el homomorfismo de conexión) $\partial_{\star}:H_{p+1}(I^{p+1},\partial I^{p+1}) \to H_p(\partial I^{p+1},\star)$ . ¿Por qué este mapa es un isomorfismo? Por los axiomas es sólo un homomorfismo.

Answer 1

El OP ha hecho tres preguntas, creo que soy capaz de responder a la 1ª y a la 3ª, pero también estoy confundido con la 2ª, así que agradecería si alguien puede completar mi siguiente respuesta.

Para la primera pregunta, la última flecha que está pidiendo es el mapa de cociente que colapsa $I^1\vee S^p$ hasta cierto punto. Para ver esto podemos escribir primero la construcción de $1 \wedge \gamma_p:I^{p+1} \to I^1 \wedge S^p$ paso a paso y ver cómo la restricción del dominio en $\partial I^{p+1}$ cambia a cada paso. Tenemos $$1 \wedge \gamma_p:I^{p+1} =I^1\times I^p \to I^1 \times S^p\to (I^1 \times S^p)/(I^1\vee S^p)=I^1\wedge S^p,$$ donde la primera flecha es el mapa $1\times \gamma_p$ el segundo es naturalmente el mapa cociente que colapsa $I^1\vee S^p$ hasta cierto punto. Ahora puedes rastrear fácilmente cómo $1 \wedge \gamma_p|_{\partial I^{p+1}}$ se comporta en cada paso, y resulta que sigue siendo el mismo mapa de colapso. Para ver un ejemplo concreto, considere hacer lo anterior a $1 \wedge \gamma_1$ :

donde la parte superior es la construcción de $1 \wedge \gamma_1$ y menor es la restricción $1 \wedge \gamma_1|_{\partial I^2}$ . Todo debería ser intuitivamente claro.

Para la tercera pregunta, basta con mirar la demostración del Teorema 6.6 en el mismo capítulo de Bredon, la parte que demuestra $(D_n)\iff(S_{n-1})$ Es lo mismo, excepto que aquí $S^p$ se escribe como $\partial I^{p+1}$ , $D^p$ como $I^p$ y junto con el hecho de que $H_n(X,*)=\tilde{H}_n(X)$ .

Como comentario a la segunda pregunta del OP, me gustaría mencionar que Bredon, después de describir brevemente lo que el mapa $1 \wedge \gamma_p|_{\partial I^p}$ lo hace geométricamente, explícitamente declaró que

$\ldots$ Claramente es una equivalencia homotópica. (De hecho, es homotópica a un homeomorfismo).

Pero no puedo ver cómo funciona.