Prueba de la suma generalizada de potencias

Question

La fórmula de Bernouli para la suma de k-ésimas potencias de los primeros n números naturales viene dada por: $$f_k(n)=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k{k+1\choose j}B_j(n+1)^{k+1-j}$$ donde $Bj$ es el $j^{th}$ Número de Bernoulli y está en un sentido recursivo dado por: $$B_j=-\frac{1}{j+1}\sum_{i=0}^{j-1}{j+1 \choose i}B_i$$ .

Encontré una prueba generalizada de esto para el caso generalizado donde las potencias pueden ser números complejos. Estoy buscando pruebas más sencillas. ¿Tienes alguna idea de si esto se puede demostrar por inducción.

Gracias.

PS. No estoy seguro de las etiquetas y agradezco si se corrigen.

Añadido Por más simple me refiero a que sólo involucran potencias enteras.

Answer 1

La prueba utilizando la función generadora: $$\frac{t}{e^t-1}$$ Se puede encontrar aquí . En esencia, la prueba se desprende de observar que: $$e^{kt}=\sum k^m \frac{t^m}{m!}$$ Para que la suma $\ \sum k^m$ está relacionada con la suma de la serie geométrica que a su vez está relacionada con la función generadora.