Resolver una matriz por el recíproco de un vector

Question

Estoy tratando de resolver esta ecuación para $x$ : $$M \cdot (1/x) = x$$

où $M$ es un no negativo , invertible de valor real $n x n$ matriz, y $x$ es un valor no nulo $n \times 1$ vectorial. La notación $1/x$ sólo denota el recíproco elemental de $x$ :

$$ 1/x = (1/x_1,1/x_2,...1/x_n)'$$

¿Existe una solución de forma cerrada para esta ecuación? Parece tan simple que siento que debe haberla, pero estoy atascado.

Si no es posible dar una solución de forma cerrada, ¿es posible al menos demostrar que debe haber alguna solución que sea real y estrictamente positiva? En otras palabras, que existe al menos una solución, $x^*=(x_1^*,...,x_n^*)$ , donde $x_i^*$ es real, y $x_i^*>0 \hspace{.2cm}\forall i \hspace{.2cm}$ ?

EDITAR : Para aclarar, $M$ es una matriz no negativa.

Gracias.

Answer 1

Considere el caso $2 \times 2$ . Dada una matriz invertible $$M = \left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right],$$ queremos encontrar un vector $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tal que $$M = \left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{x}\\ \frac{1}{y}\\ \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array}\right].$$

Esto hace que el sistema $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = x\\ \frac{c}{x} + \frac{d}{y} = y\\ \end{array}\right.$$ que no puede tener soluciones reales para algunas elecciones de los coeficientes $a,b,c,d$ . Por ejemplo, considere $a,b,d < 0$ y $c = 0$ .

Si te preocupan las dimensiones más altas, todavía es posible encontrar contraejemplos, como se muestra en los comentarios.