Cómo demostrar que una función diferenciable $f: \mathbb Q\rightarrow \mathbb Q$ no es uniformemente continua

Question

Siguiendo el esquema dado por mercio en la respuesta a este pregunta se puede construir una función $f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$ , diferenciable en todas partes, con la función derivada
$$ f'(x) = \begin{cases} 0, & (x \neq 0),\\ 1, & (x = 0). \end{cases}\tag{1}\label{one} $$ Esta función no puede sea uniformemente continua, porque si no, en cualquier intervalo cerrado que contenga $0$ , $f$ podría extenderse a una función continua sobre $\mathbb R$ . Esta función ampliada daría \begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = 1 \end{equation} y, al mismo tiempo, \begin{equation} \lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = 0, \end{equation} lo cual contradecir de l'Hôpital.

Mi pregunta es si es posible o no para demostrar que $f$ no es uniformemente continua utilizando sólo condición \eqref {uno} y la definición de continuidad uniforme, es decir (en aras de la exhaustividad) \begin{equation} \forall \epsilon,\ \exists \delta:\ \forall x,\ y \in \mathbb Q,\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon . \end{equation}

EDITAR : Wojowu me señaló que la función puede no ser diferenciable una vez extendida en $\mathbb R$ (con lo que no se contradice la norma de De l'Hôpital) . Por tanto, o bien $f$ no es uniformemente continua o su extensión a los reales no es diferenciable. Así que la pregunta ahora es si esto se puede establecer sólo por medio de \eqref {una} o no, y cómo.

Answer 1

En realidad $f$ puede sea uniformemente continua.

Editar: Una versión enormemente simplificada y depurada de lo que he publicado antes:

Uy: Acabo de darme cuenta de que lo que hay a continuación no es del todo un contraejemplo a la afirmación del PO. Construimos una continua uniforme $f:\Bbb R\to\Bbb R$ tal que $f'(0)=1$ y $f'(r)=0$ para cada racional no nulo $r$ pero no hay razón para pensar que $f(\Bbb Q)\subset\Bbb Q$ . Dejo esto aquí de todas formas porque (i) la construcción es bastante simple, (ii) sirve para mostrar que el argumento del OP que pretende mostrar que $f$ no puede ser uniformemente continua es errónea, ya que ese argumento funcionaría igual de bien para $f:\Bbb Q\to\Bbb R$ y (iii) ahora que lo pienso no es difícil arreglarlo para dar un contraejemplo literal (ver Arreglar abajo).

Diga $r_1,r_2,\dots$ es una enumeración de los racionales no nulos. Para cada $n$ elija $\delta_n\in(0,|r_n|/2)$ de tal manera que si $I_n=(r_n-\delta_n,r_n+\delta_n)$ y $$E=\Bbb R\setminus\bigcup I_n$$ entonces $$\lim_{\rho\to0}\frac1\rho m(E\cap(0,\rho)) =\lim_{\rho\to0}\frac1\rho m(E\cap(-\rho,0)) =1.$$ (Está claro que eso ocurre si $\delta_n\to0$ lo suficientemente rápido; Detalles abajo si no está claro). Dejemos que $$f(x)=\int_0^x\chi_E(t)\,dt.$$ Entonces $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es Lipshitz, y por tanto uniformemente continua, $f'(r_n)=0$ porque $f$ es constante en $I_n$ y la condición de densidad de $E$ en el origen implica que $f'(0)=1$ .

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Detalles: Demostraremos que si $\delta_n\to0$ lo suficientemente rápido entonces $f'(0)=1$ (que es lo que nos importa - equivale a la afirmación de que $0$ es un punto de densidad para $E$ .) De hecho

Si $\sum\delta_n/|r_n|<\infty$ entonces $f'(0)=1$ .

Tenga en cuenta, en primer lugar, que como $0<\delta_n<|r_n|/2$ esa condición es equivalente a $\sum\frac{\delta_n}{|r_n|-\delta_n}<\infty$ .

Dejemos que $$g(x)=x-f(x)$$ y $$G(x)=\sum g_n(x),$$ donde $$g_n(x)=\int_0^x\chi_{I_n}.$$ Evitaremos preocuparnos por $\int_0^x$ para $x<0$ mostrando únicamente que la derivada de la derecha de $g$ en el origen desaparece; por supuesto, lo mismo se aplica a la derivada de la izquierda. Como $$0\le\frac{g(x)-g(0)}{x}\le\frac{G(x)}{x}\quad(x>0)$$ es suficiente para demostrar que $$\lim_{x\to0^+}\frac{G(x)}{x}=0.$$ Definir $D_n(x)$ para $x\ge0$ por $$D_n(x)=\begin{cases}\frac{g_n(x)}{x},&(x>0), \\0,&(x=0).\end{cases}$$ Desde $g_n'(0)=0$ se deduce que $D_n$ es continua en $[0,\infty)$ . Está claro que $$D_n(x)=0\quad(0\le x\le|r_n|-\delta_n)$$ y $$|D_n(x)|\le\frac{2\delta_n}{|r_n|-\delta_n}\quad(x>|r_n|-\delta_n).$$ Así que la serie $\sum D_n$ converge uniformemente en $[0,\infty)$ y por lo tanto $$D=\sum D_n$$ es continua en $[0,\infty)$ . Pero $$D(x)=\begin{cases}\frac{G(x)}{x},&(x>0),\\0,&(x=0);\end{cases}$$ por lo que $\lim_{x\to0^+}G(x)/x=0$ .

Arreglar: Un parche para el problema mencionado en Oops arriba:

Lema. Supongamos que $(y_n)$ es una secuencia de reales no nulos. Existe una secuencia uniformemente continua $\psi:\Bbb R\to\Bbb R$ tal que $\psi(0)=0$ , $\psi'(0)=1$ y $\psi(y_n)$ es racional para cada $n$ .

Eso parece bastante claro, ya que no exigimos más que la continuidad salvo en un punto. De todos modos:

Prueba: Supongamos que $y_n\ne y_m$ para $n\ne m$ . Para cada $n$ elegir un intervalo abierto $I_n$ con $0\notin I_n$ , $y_n\in I_n$ y $y_k\notin I_n$ , $1\le k<n$ . Sea $\phi_n$ sea una función continua soportada en $I_n$ con $\phi_n(y_n)\ne0$ . Dejaremos que $$\phi=\sum c_n\phi_n$$ para las constantes adecuadas $c_n$ .

En primer lugar, si $c_n\to0$ lo suficientemente rápido entonces la serie converge uniformemente, por lo tanto $\phi$ es uniformemente continua, ya que las sumas parciales son uniformemente continuas.

En segundo lugar, si $c_n\to0$ lo suficientemente rápido entonces $$|\phi(x)|\le x^2.$$ (Por ejemplo, si $c_n$ es lo suficientemente pequeño, entonces $|c_n\phi_n(x)|\le x^2/2^n$ para todos $x$ .)

Por último, está claro que podemos elegir el $c_n$ uno a uno, "lo suficientemente pequeño" como en los dos párrafos anteriores, para que $$y_n+\sum_{j=1}^n c_j\phi_j(y_n)\in\Bbb Q$$ para todos $n$ . Desde $y_n\notin I_j$ para $j>n$ esto implica que $$y_n+\phi(y_n)=y_n+\sum_{j=1}^n c_j\phi_j(y_n)\in\Bbb Q.$$

Ahora dejemos que $\psi(x)=x+\phi(x)$ . QED.

Ahora a arreglar la construcción de arriba: Dejemos que $E$ y $f$ sea como el anterior. Digamos que las componentes conectadas de $E$ son $J_1,J_2,\dots$ . Tenga en cuenta que $f$ es constante en cada $J_n$ ; deja que $y_n$ sea esta constante. Elija $\psi$ como en el lema y que $F=\psi\circ f$ .

Entonces $F'(0)=1$ . También $F(0)=0\in\Bbb Q$ , mientras que si $r$ es un racional no nulo, entonces existe $n$ con $r\in J_n$ Por lo tanto $F'(r)=0$ , ya que $F$ es constante en $J_n$ y también $F(r)=\psi(y_n)\in\Bbb Q$ .