Encontrar el mínimo entero $n>1$ que $2^n > n^{1000}$.

Question

Encontrar el mínimo entero $n>1$ que $2^n > n^{1000}$.

Me he tomado la $log$ en ambos lados, pero no se llegó a ningún resultado. Agradecería si alguien va a resolver con precisión. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Usted puede mirar, lo que es equivalente, en la desigualdad de $n > \frac{1000}{\ln 2} \ln n$.

Ahora, el estudio de la función de $f\colon x> 0 \mapsto x - \frac{1000}{\ln 2} \ln x$ (con las herramientas usuales: la diferenciación, etc.) a ver a partir de qué valor es creciente. (No es difícil ver que $f$ está disminuyendo y aumentando). Esto le ayudará a averiguar el valor mínimo $x_0$ tal que $f(x) > 0$ todos los $x> x_0$.

Answer 2

Tenemos n ≥ 2. Por lo tanto,$2^n > 2^{1000}$, lo que hace que n ≥ 1,001.

Tenemos n ≥ 1,001. Por lo tanto,$2^n > 1001^{1000}$, lo que hace que n ≥ 9,967.226 o n ≥ 9,968.

Tenemos n ≥ 9,968. Por lo tanto,$2^n > 9968^{1000}$, lo que hace que n ≥ 13,283.088 o n ≥ 13,284.

Tenemos n ≥ 13,284. Por lo tanto,$2^n > 13284^{1000}$, lo que hace que n ≥ 13,697.402 o n ≥ 13,698.

Tenemos n ≥ 13,698. Por lo tanto,$2^n > 13698^{1000}$, lo que hace que n ≥ 13,741.677 o n ≥ 13,742.

Tenemos n ≥ 13,742. Por lo tanto,$2^n > 13742^{1000}$, lo que hace que n ≥ 13,746.303 o n ≥ 13,747.

Ahora $log_2 (13,747) = 13,746.829$, lo que hace que $2^{13,747} > 13,747^{1,000}$.

Answer 3

Tomando $\log$ en ambos lados, se obtiene

$$n \log 2 > 1000 \log n$$ o $$n - \frac{1000}{\log 2} \log n >0$$

Esto se asemeja a la parte superior izquierda parte triangular de la real plano formado por la línea recta $$n - \frac{1000}{\log 2} \log n = 0$$

Espero que esto ayude.

Answer 4

Usted necesidad de volver a escribir la ecuación, de modo que usted puede aplicar numérico de las evaluaciones. Si no se golpeó la función W de Lambert como una solución, que no me voy a pronunciar aquí.

Así que vamos a empezar. Necesitamos encontrar a $n$, de modo que $n-2^{\frac{n}{1000}}=0$. Esta tiene dos soluciones y tenemos el más grande, al menos la parte entera de la misma.

Podemos notar inmediatamente que $13 < \frac{n}{1000} < 14$ porque $2^{13}=8192$$2^{14}=16384$. Obviamente, ambos están lejos de 13000 y 14000, pero 14000 se ve mejor

$$14000-x-2^{\frac{14000-x}{1000}}=0$$ $$14000-x-2^{14}2^{-\frac{x}{1000}}=0$$ $$14000-x-16384 \cdot 2^{-\frac{x}{1000}}=0$$

Ahora se trata de intentar $x=\frac{100}{2},x=\frac{100}{3},x=\frac{100}{4},...$ porque tenemos expresiones con $\sqrt{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{2},\sqrt[5]{2}$ y que con seguridad se puede calcular cualquiera de estos.

$14000-250-y-16384 \cdot 2^{-\frac{250+y}{1000}}=0$

$$13750-y-8192\sqrt[4]{8} 2^{-\frac{y}{1000}}=0$$

Ahora esta parte es muy pequeño$\frac{y}{1000}$, por lo que podemos tratar de reemplazar a sabiendas de $e^{1+x} \approx x$.

$$13750-y-8192\sqrt[4]{8}(1-\frac{y\log(2)}{1000})=0$$

Esta es la ecuación lineal y la solución es

$$y=\frac{250(4096\sqrt[4]{8}-6875)}{1024\sqrt[4]{8}\log(2)-125}$$

Para llegar al fondo de esto vamos a intentar demostrar $3 < y < 4$.

$$z=\frac{250(4096\sqrt[4]{8}-6875)}{1024\sqrt[4]{8}\log(2)-125}-3$$

$$z=\frac{(1024000 -3072 \log(2))2^{3/4}-1718375}{1024\cdot 2^{3/4} \log(2)-125}$$

Esto es evidente, $1024 \cdot 2^{3/4} \log(2)-125 > 1000$ porque $1024\cdot 2^{3/4} \log(2)> 875$ $2^{3/4} \log(2) > 1$ porque $\log^4(2)>\frac{1}{8}$ y esto es obvio ya que $\log^4(2)>0.6^4=0.1296>\frac{1}{8}$

Por lo que queda por demostrar que $$0 < (1024000 -3072 \log(2))2^{3/4}-1718375 < 1000$$

Esto está trayendo a $1000 > 1719375-1024\cdot 8^{1/4} (1000-\log(8)) > 0$

Ahora$1680>\frac{1719375}{1024}>1679$, por lo que podemos dividir por 1024

Esto nos está trayendo a $\frac{1000}{1024} > 1679+\frac{79}{1024}-8^{1/4} (1000-\log(8)) > 0$

Más $\frac{1000}{1024} > 1679+\frac{79}{1024}-8^{1/4} 1000+8^{1/4}\log(8)) > 0$

Establecemos

$$\frac{7}{2} > 8^{1/4}\log(8) > 3$$

$$8^{1/4}\log(8) > 3 \implies 2^{3/4}\log(2) > 1 $$ y tuvimos esta ya por encima.

La segunda parte es

$$7 > 2\cdot8^{1/4}\log(8)$$

$$\frac{3500}{1681} > \frac{1750}{841} > \log(8)$$

$$\frac{1750}{841} > \frac{208}{100} > 3 \log(2)$$

$$1750 \cdot 100 > 841 \cdot 208 $$

$$21875 > 21866 $$

Esto hace que sea

$$\frac{1000}{1024} > 1679+\frac{79}{1024}-8^{1/4} 1000+3 > 0$$ $$\frac{1000}{1024} > 1679+\frac{79}{1024}-8^{1/4} 1000+\frac{7}{2} > 0$$

o

$$1679+\frac{79}{1024}-\frac{1000}{1024}+3 < 8^{1/4} 1000 < 1679+\frac{79}{1024}+3$$

$$1679+\frac{79}{1024}-\frac{1000}{1024}+\frac{7}{2} < 8^{1/4} 1000 < 1679+\frac{79}{1024}+\frac{7}{2}$$

que hace que sea juntos

$$1679+\frac{79}{1024}-\frac{1000}{1024}+\frac{7}{2} < 8^{1/4} 1000 < 1679+\frac{79}{1024}+3$$

o

$$1.679+\frac{79}{1024000}-\frac{1}{1024}+\frac{7}{2000} < 8^{1/4} < 1.679+\frac{79}{1024000}+\frac{3}{1000}$$

Este es, de hecho,

$$1.679-\frac{921}{1024000}+\frac{7}{2000} < 8^{1/4} < 1.679+\frac{3}{1000}$$

o

$$1.679-\frac{800}{1000000}+\frac{7}{2000} < 8^{1/4} < 1.679+\frac{3}{1000}$$

$$1.679-\frac{8}{10000}+\frac{7}{2000} < 8^{1/4} < 1.679+\frac{3}{1000}$$

lo que es de todos

$$1.6817 < 8^{1/4} < 1.6820$$

Podemos calcular el $8^{1/4}$ simplemente por tomar $8^{1/4}=\sqrt{2\sqrt{2}}$ y hay una rápida y eficiente los algoritmos para $\sqrt{.}$

O podemos hacer el siguiente. Encontrar sólo $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.8284$ y demostrar que $1.6817^2 < 2.8284 < 2.8285 < 1.6820^2$

Y, de hecho, tendríamos $1.6817^2 < 2.8282 < 2.8284 < 2\sqrt{2} < 2.8285 < 2.829 < 1.6820^2$

Esto significa que tenemos el valor entero, finalmente, como

$$13500+250-3=13747$$