Es allí una manera de encontrar el valor esperado de la ecuación?

Question

Si la variable aleatoria $X$ se distribuye binomial con parámetros de $n=6$$p=0.3$, lo $$E(4+3X^2)$$

Sé $E(X) = np = 1.8$. He resuelto este problema mediante la búsqueda de $P(X)$ de todos los $X$ $(^6_x)(0.3)^x(0.7)^{6-x}$ y, a continuación, aplicarlos con $4+3X^2$ a resolver para $E(4+3X^2)$. Pero esto toma mucho tiempo y creo que debe haber una fórmula u otra forma de resolver esto.

Puede alguien decir que me ayude con esto? Gracias de antemano!

Answer 1

Desde $X$ es binomial usted también sabe que $Var(X)=np(1-p)$. Así, el uso de que (esto se aplica en general) $$Var(X)=E[X^2]-E[X]^2\implies E[X^2]=Var(X)+E[X]^2$$ y la linealidad de la expectativa de obtener que
\begin{align}E[4+3X^2]&=E[4]+E[3X^2]=4+3E[X^2]=4+3(Var(X)+E[X]^2)\\[0.2cm]&=4+3(np(1-p)+(np)^2)\end{align}