La convergencia en $C(X)$ es la convergencia uniforme.

Question

He leído esto en la convergencia de $C(X)$ es la convergencia uniforme.

Donde $X$ es compacto hausdorff topológica del espacio y

$$C(X)=\{f:X\to\mathbb{C}\;\mid \; f\ \text{is continuous}\}$$

Y $$\|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in X\}$$

Lo que he hecho: supongo que $f_n\to f $ pointwise, a continuación, para cada $\varepsilon>0$, y para cada $x\in X$ existe un entero positivo $N$ tal que $\forall n\geq N$ hemos

$$d(f_n(x),f(x))=\|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon$$

entonces

$$\sup_{x\in X}\|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon$$

A continuación, más de lo que debería hacer?

Editado:Mi pregunta es cómo demostrar que la convergencia en C(X) es la convergencia uniforme y también es esto debido a la compacidad de $X$ o a causa de supremum norma?

Answer 1

Deje $f_n \rightarrow f$$C(X)$. Esto significa $\|f_n-f\| \rightarrow 0$. A su vez, esto significa que $\forall \epsilon >0 \space \exists n_\epsilon \space \| f_n-f \|< \epsilon$. Detalla lo que la norma significa, obtenemos $\mathbb{sup}_{x \in X}|f_n(x) - f(x)|< \epsilon$, lo que en particular implica $|f_n(x) - f(x)|< \epsilon \space \forall x \in X$ (e $n>n_\epsilon$ como se encuentra, por supuesto). Y esto es sólo la definición de la convergencia uniforme.