¿Cuál es el significado de los objetos en un espacio vectorial?
Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se definen dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares, sujeto a los diez axiomas...
Pueden las entradas de un vector de ser otra cosa que real o números complejos?
Un vector es un objeto. No se necesita tener "entradas"; esta es una propiedad que $\mathbb{R}^n$ tiene, pero no la mayoría de los otros espacios vectoriales.
Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en la variable $t$, denotado $P(t)$, es un espacio vectorial. No hay entradas; un vector se parece a $1+2t-3t^5$.
Absolutamente. Cualquier cosa que se pueda ", agregó" en una forma sensata puede ser considerado como un vector. Por ejemplo, los polinomios, y, en particular, de las funciones. En la mecánica cuántica, esta diferencia es casi ignorado por completo; entonces las funciones son comúnmente como "vectores".
Tal vez sería más claro si la definición en lugar de leer:
Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V, cuyos elementos llamaremos vectores, en el que se definen dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares, sujeto a los diez axiomas...
Como se señaló en las otras respuestas, el espacio vectorial puede ser absolutamente cualquier conjunto en el que puede definir las operaciones necesarias.
Los vectores en un espacio vectorial son objetos. Estos objetos pueden ser muchas cosas diferentes. Pueden ser pares ordenados con los elementos de un campo de $F$, con secuencias de elementos de un campo $F$, $m$ x $n$ matrices con entradas en un campo $F$, el conjunto de todas las funciones de $S$ $F$denotado por $f(S,F)$ donde $S$ es cualquier conjunto no vacío y $F$ cualquier campo, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un campo $F$ donde $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ $n$ es un entero no negativo y cada una de las $a_k$, llamado el coeficiente de $x^k$$F$. Como usted puede ver, hay muchos vectores que podemos estudiar en relación con los espacios vectoriales. De hecho, todo lo que acaba de decir es un espacio vectorial con las operaciones de la suma y la multiplicación escalar.
Así que usted tiene esta definición:
Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se definen dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares, sujeto a los diez axiomas...
Los axiomas garantía de que $V$ bajo, además es un abelian (es decir, conmutativa) del grupo. El conjunto de escalares tiene que ser un campo. Esto significa que entre los valores escalares de las habituales reglas algebraicas válido en ${\mathbb Q}$ o ${\mathbb R}$ o ${\mathbb C}$ aplicar. Pero hay otros ejemplos de campos, como se explica en el álgebra o el número de cursos de teoría.
Ahora a la pregunta de "entradas". En la construcción de una teoría general de espacios vectoriales la noción de dimensión . Cuando un espacio vectorial $V$ sobre algunos escalares campo $F$ tiene dimensión $n\in{\mathbb N}$, para todos los propósitos prácticos (es decir, después de la elección de una base) $V$ puede ser considerada como el conjunto de todos los $n$-tuplas $(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n)$ de los elementos de la $F$. El $\xi_k\in F$ son las "entradas" de la que habló. Es cierto que para espacios vectoriales conectados con físicas o técnicas, situaciones en las que el campo escalar $F$ tiende a ser $={\mathbb R}$ o $={\mathbb C}$.
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