Determinante de una matriz especialmente estructurada

Question

Tengo la siguiente matriz de $n\times n$:

$$A=\begin{bmatrix}a&b&\cdots&b\\b&a&\cdots&b\\\vdots& &\ddots&\vdots\\b&\cdots&b&a\end{bmatrix}$$

donde $0 < b < a$.

Estoy interesado en la expresión del determinante $\det[A]$ $a$, $b$ y $n$. Esto parece ser un problema trivial, ya que el % de matriz $A$tiene una estructura agradable, pero mis conocimientos de álgebra lineal están bastante oxidados y no puedo averiguar. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Agregar fila 2 a fila 1, agregar fila 3 fila 1,..., Añadir fila $n$ a la fila 1, obtenemos $$ \det (A) =\begin{vmatrix} a+(n-1)b & a+(n-1)b & a+(n-1)b & \cdots & a+(n-1)b \\ b & a & b &\cdots & b \\ b & b & a &\cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \ldots & a \\ \end{vmatrix} $$ $$ = (a + b (n-1))\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & a & b &\cdots & b \\ b & b & a &\cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \ldots & a \\ \end{vmatrix}. $$ ahora añadir $(-b)$ de fila 1 fila 2, añadir $(-b)$ de la fila 1, fila 3,..., añadir $(-b)$ de fila 1 a fila $n$, obtenemos $$\det(A)=(a+(n-1)b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a-b & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a-b \\ \end{vmatrix}=(a+(n-1)b)(a-b) ^ {n-1}. $$

Answer 2

SFAICT esta ruta no se ha mencionado todavía, así que:

Considerar la descomposición

$$\small\begin{pmatrix}a&b&\cdots&b\\b&a&\cdots&b\\\vdots&&\ddots&\vdots\\b&\cdots&b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-b&&&\\&a-b&&\\&&\ddots&\\&&&a-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\sqrt b\\\sqrt b\\\vdots\\\sqrt b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sqrt b&\sqrt b&\cdots&\sqrt b\end{pmatrix}$$

Tener esta descomposición nos permite el uso de la Sherman-Morrison-Woodbury fórmula de determinantes:

$$\det(\mathbf A+\mathbf u\mathbf v^\top)=(1+\mathbf v^\top\mathbf A^{-1}\mathbf u)\det\mathbf A$$

donde $\mathbf u$ $\mathbf v$ son vectores columna. Los componentes correspondientes son simples, y por lo tanto la fórmula es fácil de aplicar (dejando $\mathbf e$ denota el vector columna cuyos componentes son todos los $1$'s):

$$\begin{align*} \begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\\b&a&\cdots&b\\\vdots&&\ddots&\vdots\\b&\cdots&b&a\end{vmatrix}&=\left(1+(\sqrt{b}\mathbf e)^\top\left(\frac{\sqrt{b}}{a-b}\mathbf e\ \ derecho)\right)(a-b)^n\\ &=\left(1+\frac{nb}{a-b}\right)(a-b)^n=(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1} \end{align*}$$

donde hemos utilizado el hecho de que $\mathbf e^\top\mathbf e=n$.

Answer 3

Esto es un problema fácil. Que $J$ sea la matriz cuadrada con todos igual de entrada $1$. Su problema es equivalente a encontrar el determinante de la $\lambda I + \mu J$ % arbitrario $\lambda, \mu$. Que $v=\left(\frac1{\sqrt{n}}, \frac1{\sqrt{n}},\ldots,\frac1{\sqrt{n}}\right)^\top$ y $e=(1,0,\ldots,0)^\top$. Entonces $J=nvv^\top$. Tomar cualquier matriz ortogonal con su primera columna igual a $v$. Entonces $V^\top(\lambda I + \mu J)V = \lambda I+\mu nee^\top = \textrm{diag}\left(\lambda+\mu n,\lambda,\ldots,\lambda\right)$. Por lo tanto, $\det(\lambda I + \mu J) = (\lambda+\mu n)\lambda^{n-1}$. Poner $\lambda=a-b$ y $\mu=b$, obtenemos la respuesta a tu pregunta como $[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$.

Answer 4

Restar la fila inferior de cada una de las otras filas, y luego ampliar a lo largo de algunos conveniente fila o columna.

Answer 5

Sugerencia: podemos suponer que la masa anillo es un campo, y que $b\neq0$. Consideremos el subespacio formado por los vectores con la igualdad de coordenadas, y el subespacio formado por los vectores cuyas coordenadas agregar a a $0$; tenga en cuenta que estos dos subespacios son subespacios propios; calcular los correspondientes valores propios; y la conclusión.

EDIT. Para hallar los subespacios propios de a $A$ puede agregar $b-a$ a, a hacer todas las entradas igual a $b$. (La adición de un escalar a $A$ no afecta a los subespacios propios.)