Dejemos que $K$ sea un nudo en un manípulo cerrado y orientado $Y$ . Es un hecho habitual que si $K$ es (al menos racionalmente) nulo-homólogo, entonces $H_1(Y-K;\mathbb{Z})$ es isomorfo a $H_1(Y;\mathbb{Z})\oplus \mathbb{Z}$ . Tengo curiosidad por el caso en el que $K$ es no racionalmente nulo, es decir, cuando $[K]$ tiene un orden infinito en $H_1(Y)$ .
¿Qué es? $H_1(Y-K)$ si $K$ es no ¿Racionalmente nulo?
Para hacer algunas observaciones iniciales, dejemos $N(K)$ denotan una vecindad tubular de nuestro nudo $K$ (que se supone que satisface $[K]\neq 0$ en $\mathbb{Q}$ -) y dejemos que $\mu$ sea un meridiano de $K$ en $\partial N(K)$ . Entonces:
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por el principio de "la mitad vive, la mitad muere", $\mu$ debe representar un elemento trivial en $H_1(Y-K;\mathbb{Q})$ y por tanto un elemento de orden finito en $\mathbb{Z}$ -Homología;
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$Y$ se obtiene de $Y- \mathring{N}(K)$ fijando un asa de 2 a lo largo de $\mu$ (y rematando el resto de $S^2$ -con una bola 3), por lo que su primera homología debe ser el cociente de $H_1(Y-K)$ por el subgrupo generado por $\mu$ .
Basado en esto, mi suposición es que $H_1(Y-K)\cong H_1(Y) \oplus \mathbb{Z}/n$ donde $n$ es el orden de $\mu$ .
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@PVAL: He jugado con la secuencia Mayer-Vietoris para $Y=(Y-K) \cup N(K)$ bastante. Puedes sacar una secuencia corta y exacta $0 \to \operatorname{coker} \delta \to H_1(N(K)) \oplus H_1(Y-K) \to H_1(Y) \to 0$ que, en mi opinión, se reduce a $0 \to \langle \mu \rangle_{\partial N(K)}/\langle n \cdot \mu \rangle \to H_1(Y-K) \to H_1(Y) \to 0$ . Estoy atrapado allí.
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@PVAL: En cuanto a tu ejemplo, el complemento de ese nudo es $S^1 \times (S^2 -\{p\})$ que tiene la misma primera homología que el espacio original.
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Lo siento, eso fue incorrecto. Supongo que la pregunta es si podemos descartar algo como $0 \to \Bbb Z/2 \to \Bbb Z/4 \to \Bbb Z/2 \to 0$ .