Si $BA$ $-1$ como un valor propio, entonces también lo hace $AB$?

Question

Yo sólo era encontrado con un problema difícil de la siguiente manera:

Supongamos $A,B\in M_n(\mathbb R)$, probar:
$$\det(I_n+AB)\ne0\Rightarrow\det(I_n+BA)\ne0$$

Aunque en este momento estoy todavía en una pérdida de cómo ir sobre el probar esto, me parecía haber derivado en algo que se ve muy impresionante para mí en mi anterior fallidos intentos:
En primer lugar, creo que esto es obvio: $$\det(I_n+AB)\ne0\Leftrightarrow-1\text{ is not an eigenvalue of }AB$$ Y de la misma manera, $$\det(I_n+BA)\ne0\Leftrightarrow-1\text{ is not an eigenvalue of }BA$$ Así que lo que me piden demostrar que es en realidad equivalente a mostrar $$-1\text{ is not an eigenvalue of }AB\Rightarrow-1\text{ is not an eigenvalue of }BA$$ Tomando el recíproco negativo, es decir, $$-1\text{ is an eigenvalue of }BA\Rightarrow-1\text{ is an eigenvalue of }AB$$ No puedo encontrar ningún error en mi razonamiento. Pero si lo que yo voy a demostrar que es verdadero (yo estoy seguro de que decir, sí, es verdad, porque hace meses me la resolvieron en un extremadamente difícil camino, que no, por supuesto, seguir mi actual hilos), entonces significa que para que dos matrices arbitrarias $A,B$ del mismo tamaño, incluso si no conmuta, $AB$ $BA$ compartirá $-1$ como un autovalor!! Creo que es MUY poco probable.
Entonces, ¿podría usted por favor, señale el lugar donde la falla de mi razonamiento se encuentra? O, podría usted ayudarme a probar esta dura la cosa? Gracias de antemano!

Answer 1

el distinto de cero autovalores de a $AB$ $BA$ son los mismos. la razón es $tr(AB) = tr(BA), tr((AB)^2) = tr((BA)^2), \cdots$ lo que implica que la suma de las potencias de los autovalores de a $AB$ $BA$ son los mismos. a través de la newtons de fórmula, esto implica que el líder de los coeficientes de los polinomios característicos son el mismo.

Answer 2

Decir $v\in \Bbb R^n$ es tal que $ABv = -v$. Entonces yo reclamo que $u = Bv$ es un vector tal que $BAu = -u$. De hecho: $$ BAu = BABv = B(ABv) = B(-v) = -Bv = -u $$ Así que si $AB$ ha autovalor $-1$, entonces también lo hace $BA$. El opuesto es, por supuesto, cierto, por un analoguous argumento. Este argumento también funciona para cualquier otro valor propio, por lo $AB$ $BA$ compartir todos los autovalores.

Pequeña advertencia: en realidad tenemos que comprobar que el $u \neq 0$. Pero mientras que el autovalor en cuestión no es $0$,$A(Bv) \neq 0$, por lo que se deduce que el $Bv = u \neq 0$.