Calcular todas las raíces de $(-8)^{\frac{1}{3}}$

Question

$$(-8)^{\frac{1}{3}}$$

El problema de los estados para calcular todas las raíces de los números complejos arriba. A continuación es mi intento, pero mis preguntas son si lo hizo bien y qué no coincidir con Wolfram. Wolfram sólo devuelve $1$ resultado - era yo sólo suponía $1$ así??

$$\text{modulus} = 8$$ $$\theta = \arctan \left(\frac{0}{-8}\right) = 0$$

Debido a que estamos trabajando en la mitad izquierda del plano complejo, $\theta=\pi$.

$$z=\left(8e^{i(2\pi k+\pi)}\right)^{\frac{1}{3}}$$

Este complejo número de ha $3$ raíces, por lo $k=0,1,2$ :

$$z_0=2e^{i\frac{\pi}{3}}$$ $$z_1=2e^{i\pi}$$ $$z_2=2e^{i\frac{5\pi}{3}}$$

Answer 1

El problema que se está resolviendo y el problema Wolfram Alpha es capaz de resolver son problemas diferentes.

Desea encontrar todas las raíces de $x^3+8=0$ que hizo corrrectly. Las tres soluciones son todas las soluciones a la ecuación.

Sin embargo, usted preguntó Wolfram Alpha para tomar $-8$ $1/3$ de la energía. Eso es un problema diferente, porque allí no está la solución de una ecuación polinómica. En su lugar, usted está tomando un número a la potencia de un número fraccionario. Cuando usted toma un número a la potencia de otro número, sólo hay una claramente definida respuesta, incluso si el poder es fraccionario. Por ejemplo, $2^{\frac 1 2}$$\sqrt 2$, el director (positivo) de la raíz cuadrada de 2, y que es diferente de $-\sqrt 2$. Del mismo modo, $(-8)^{\frac 1 3}$ es el "principal" raíz cúbica de a $-8$ y debe ser $2e^{\frac{i\pi}{3}}$ porque de todas las soluciones a $x^3+8=0$, que solución tiene el menor argumento.

Si quieres encontrar todas las soluciones a $x^3+8=0$, dígale a Wolfram Alpha para hacer eso en su lugar. Como se puede ver, Wolfram Alpha ahora tiene tres respuestas, pero ha expresado en forma rectangular en lugar de polar de la forma como lo hizo. Sin embargo, sus respuestas y Wolfram Alpha respuestas siguen siendo las mismas.

Answer 2

Usted quiere resolver:

$$z^3=-8\Longleftrightarrow$$ $$z^3=|-8|e^{\arg(-8)i}\Longleftrightarrow$$ $$z^3=8e^{\pi i}\Longleftrightarrow$$ $$z=\left(8e^{\left(2\pi k+\pi\right)i}\right)^{\frac{1}{3}}\Longleftrightarrow$$ $$z=2e^{\frac{1}{3}\left(2\pi k+\pi\right)i}$$

Con $k\in\mathbb{Z}$ $k:0-2$

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Así que las soluciones son:

$$z_0=2e^{\frac{1}{3}\left(2\pi\cdot0+\pi\right)i}=2e^{\frac{\pi i}{3}}$$ $$z_1=2e^{\frac{1}{3}\left(2\pi\cdot1+\pi\right)i}=2e^{\pi i}=-2$$ $$z_2=2e^{\frac{1}{3}\left(2\pi\cdot2+\pi\right)i}=2e^{-\frac{\pi i}{3}}$$

Answer 3

Podemos utilizar primaria de la factorización para encontrar todas las raíces. Deje $x = \left(-8\right)^{\frac{1}{3}}\Rightarrow x^3 = -8\Rightarrow x^3 + 8 = 0\Rightarrow (x+2)(x^2-2x+4) = 0\Rightarrow (x+2)((x-1)^2 + 3) = 0\Rightarrow x = -2, (x-1)^2 = -3\Rightarrow x = -2, x-1 = \pm i\sqrt{3}\Rightarrow x = -2, 1 \pm i\sqrt{3}$.