Transición de la introducción al análisis a un análisis más avanzado

Question

Actualmente estoy estudiando introducción al análisis y aprendiendo algunas cosas sobre topología básica en el espacio métrico y casi he terminado el curso. Estoy Estoy pensando en tomar algo más avanzado análisis. ¿Sería exigente tomar algún curso como análisis funcional o análisis real sólo con el conocimiento del curso de introducción al análisis ¿los cursos necesitan más conocimientos matemáticos para ser manejados?

Answer 1

La mayor parte del análisis requiere muy poco álgebra. Si has cubierto un curso de análisis básico, por ejemplo, utilizando los Principios del Análisis Matemático de Rudin, entonces estás listo para tomar un curso de análisis más avanzado, por ejemplo, utilizando el Análisis Real y Complejo de Rudin, que cubre tanto la teoría de la medida como los operadores lineales, así como las funciones holomorfas.

Answer 2

Actualmente estoy haciendo un curso de postgrado de análisis funcional habiendo hecho sólo un análisis introductorio (me especialicé en física). Es manejable, pero conocer la teoría de la medida y la integración de Lebesgue definitivamente habría ayudado.

Answer 3

Dependiendo de lo que entiendas por "introducción al análisis", un curso de análisis real que cubra, por ejemplo, la integración de Lebesgue sería probablemente razonable, pero un curso de análisis funcional suele dar por sentado que ya has hecho un curso básico de análisis de posgrado. Todo depende del lugar donde se estudie.

Answer 4

Una vez que tengas una introducción básica al análisis real, puedes seguir varios caminos.

Uno de ellos sería cubrir el análisis en $\mathbb{R}^N$ y dirigirse hacia el análisis de los colectores utilizando libros como "Principles of Mathematical Analysis" de Rudin (capítulos 9 y 10), o "Analysis on Manifolds" de Munkres.

Otra dirección que puedes tomar, si has cubierto la integral de Riemann en el análisis básico, es estudiar la teoría de las medidas y la integración. Podrías utilizar el primero de los libros gratuitos de Fremlin sobre medidas e integración. No tengo una buena idea de libros introductorios para esto.

Si además sabes algo de álgebra lineal, también podrías adentrarte en el análisis funcional. Hay algunos buenos libros destinados a estudiantes con una modesta formación en análisis real y álgebra lineal. Un libro muy popular es "Introductory Functional Analysis" de Kreyszig. Este libro no asume ni utiliza la integración de Lebesgue. Si ha llegado hasta las secuencias de funciones en el análisis básico, también podría utilizar "Beginning Functional Analysis" de Karen Saxe (este da primero una introducción autocontenida a la integración de Lebesgue).