Máxima ideales de algunos de localización de un anillo conmutativo

Question

Si $R$ es conmutativa anillo, $P_1, P_2, \dots, P_n$ primer ideales de $R$ con la propiedad $P_i \not\subseteq \bigcup _{j \not = i} P_j$, $\forall 1\le i\le n$, y $S:=R\setminus(P_1 \cup \cdots \cup P_n)$, a continuación, mostrar: $$S^{-1}R \text{ has exactly } n \text{ maximal ideals}.$$

Definición. $S^{-1}R=${${r \over s} : r \in R , s \in S $}.

Answer 1

Utilizando el primer escribir en localizaciones que ya ha sido mencionado, y el Primer evitación, podemos demostrar que la máxima ideales son exactamente el $S^{-1}P_i$.

Supongamos $J$ es cualquier ideal estrictamente contiene un $P_j$. Pretendemos que $J\cap S\neq \emptyset$. Si fuera de otra manera, a continuación,$J\subseteq \cup_i P_i$, y por el primer evitación, $J$ debe estar contenida en un $P_j$. Obviamente $J$ no está contenido en $P_i$, lo $J\subseteq \cup_{j\neq i}P_j$. Pero, a continuación,$P_i\subset J\subseteq \cup_{j\neq i}P_j$, una contradicción. El resultado de esto es que la unión hipótesis fuerzas ideales estrictamente contengan cualquier $P_j$ a golpear $S$ y por lo tanto explotar en la localización.

Ahora aplicar esto para mostrar que cada una de las $S^{-1}P_i$ es máxima en $S^{-1}R$. Si $P_i$ no maximal, entonces un ideal maximal sentado encima de $P_i$ contrato a un alojamiento ideal estrictamente contengan $P_i$, pero este ideal no puede ser correcto, como hemos visto.

Ahora tiene al menos $n$ máxima ideales de $S^{-1}R$. Todo lo que queda es mostrar que no hay más.

Si $M$ es máxima en $S^{-1}R$, se contrae a un primer $Q$ $R$ tal que $Q\cap S=\emptyset$. Por lo tanto $Q\subseteq \cup P_i$ y por el primer evitación $Q\subseteq P_i$ algunos $i$. De ello se desprende que $S^{-1}Q=M=S^{-1}P_i$ por maximality de $M$, y hemos hecho sólo $n$ máxima ideales.

Answer 2

Utilizando el resultado mencionado por YACP en los comentarios, el problema se reduce a probar que: Si un ideal $I$ contenida en un sindicato de primer ideales $P_i$, $I$ está contenida en uno de los $P_i$.

Podemos demostrar que el resultado por inducción en $n$. El caso de $n=1$ es clara. Para el paso inductivo, si $I$ está contenida en una unión de menos de $n$ de la $P_i$, entonces el resultado es por inducción. De lo contrario, para cada $i$ existe un elemento $x_i \in I$$P_i$, pero no en cualquier $P_j$$j \ne i$. A continuación, el elemento $x = x_1 + x_2 x_3 \ldots x_n$$I$, pero no puede estar en cualquiera de las $P$'s (¿por qué no?): contradicción.

(¿Ves donde hemos utilizado el hecho de que el $P_i$ son primos?)