¿Por qué el vector de flujo de calor en un punto debe ser perpendicular a la superficie isotérmica de temperatura? ¿Es una definición o una deducción?

Question

Antes de la pregunta: Estoy trabajando en el cálculo numérico de una ecuación parabólica tridimensional que se basa en la Ley de Fourier de la cual estoy un poco confundido.

Aquí viene la ley en lenguaje matemático moderno.

"El flujo de calor local es proporcional al gradiente de temperatura" $$ \vec{q}=-k\nabla T, $$ donde $k$ es la conductividad del material.

¡Qué conciso es, pero cómo entender la Ley? He leído el libro escrito por Fourier en 1822 pero no entiendo ni la ley en lenguaje matemático moderno ni en el lenguaje de Fourier. Descubrí que cada afirmación o fórmula relacionada con la demostración de la Ley no se realiza con suficiente rigor. Aquí hay algunas afirmaciones de un libro de YUNUSA.CENGEL en su página 65 capítulo 2.

Para obtener una relación general para la Ley de Fourier de la conducción de calor, considera un medio en el cual la distribución de temperatura es tridimensional. La figura a continuación muestra una superficie isotérmica en ese medio. El vector del flujo de calor en un punto $P$ en esta superficie debe ser perpendicular a la superficie, y debe apuntar en la dirección de temperatura decreciente. Si $n$ es la normal de la superficie isotérmica en el punto $P$, la tasa de conducción de calor en ese punto se puede expresar mediante la ley de Fourier como $$ \dot{Q_n} = -kA\cfrac{\partial T}{\partial n} $$

Mis preguntas sobre el problema que he mencionado son

• ¿Cómo puede ser un vector el flujo de calor?
• ¿Cuál es el significado de la dirección del flujo de calor?
• ¿Por qué el flujo de calor en un punto es perpendicular a la superficie isotérmica?
• ¿Cuál es la definición del vector de flujo de calor, no del flujo de calor que se define como la cantidad por segundo por área?

Puede que digas que es cierto solo por la Segunda ley de la termodinámica.

El calor siempre fluye espontáneamente de regiones de mayor temperatura a regiones de menor temperatura, y nunca al revés, a menos que se realice trabajo externo sobre el sistema.

Es menor pero no la disminución más rápida, ¿verdad?

Si la dirección no es a través de la línea en el plano tangencial de la superficie isotérmica se trasladaría a un lugar más frío, ¿verdad? Entonces, ¿por qué elegir la línea normal como la dirección del flujo de calor si hay líneas infinitas al lugar más frío? Tal vez sea que el proyecto funciona cuando se considera la otra línea! Sin embargo, son los seres humanos y no la naturaleza quienes definen la dirección del flujo de calor por conveniencia. ¿Estoy en lo correcto?

Puede estar relacionado con la Ley de Fick. No estoy seguro sobre la demostración de la situación tridimensional.

Answer 1

El flujo de calor es un vector porque tiene magnitud y dirección. Además, tiene estas propiedades en cada punto en el espacio, lo que lo convierte en un campo vectorial. Puedes pensar en una analogía con el flujo de masa en un medio con densidad no homogénea; la difusión tiende a igualar la densidad en todas partes, por lo que habrá un movimiento específico de masa en cada punto determinado por su entorno inmediato.

La dirección del flujo de calor especifica para cada punto la dirección de la caída más rápida en la temperatura.

Finalmente, el flujo de calor es normal a una superficie isotérmica, porque si no lo fuera, tendría una componente tangencial a lo largo de la superficie isotérmica en ese punto. Eso a su vez significaría que habría un gradiente de temperatura no nulo a lo largo de la superficie, lo que significaría que no es una superficie isotérmica.

Recursos adicionales:

http://www.et.byu.edu/~vps/ME340/ME340.htm

http://www.amazon.com/books/dp/0470501960

http://freevideolectures.com/Course/3005/Heat-Transfer/1

Answer 2

EDICIÓN: Para responder a las nuevas preguntas formuladas, es un principio básico de la termodinámica que el calor fluye de los cuerpos calientes a los fríos. La dirección del vector de flujo de calor es precisamente esa. Por lo tanto, debería ser obvio por qué este vector es ortogonal a las superficies isotermas una vez que aceptamos ese principio. La ley de Fourier es solo una declaración refinada de ese principio que también nos dice la relación entre las magnitudes del gradiente de temperatura y el flujo de calor.

Supongamos que tienes una caja sobre la cual hay un gradiente de temperatura desde el lado izquierdo de la caja hacia el lado derecho, siendo el lado izquierdo el lado más cálido. La cantidad de calor que fluye a través de la caja por unidad de tiempo es proporcional al gradiente de temperatura y al área de la superficie del lado de la caja. Esa es la ley de Fourier.

$$\frac{\Delta Q}{\Delta t} = -k A \frac{\Delta T}{\Delta x}$$

En una situación más compleja, el calor podría fluir en varias direcciones. El flujo de calor $dQ/dt$ descrito en la fórmula anterior es al flujo de calor $\vec{q}$ como la corriente $I$ es a la densidad de corriente $\vec{j}$ en electromagnetismo. El gradiente de temperatura se convierte entonces en $\nabla T$ en su forma vectorial más general, donde $\nabla$ es el operador de gradiente. Entonces tenemos

$$\vec{q}=-k\nabla T$$

El gradiente de temperatura es el análogo de la diferencia de potencial en electromagnetismo. Y la ley de Fourier es el análogo de la ley de Ohm.

Aquí tienes una aclaración de la definición de flujo

$$\vec{q}=\frac{d (dQ/dt)}{d\vec{A}}$$

o alternativamente

$$\frac{dQ}{dt}={\int \!\!\! \int}_{A} \vec{q}\cdot d\vec{A}$$

Answer 3

En realidad, esto ni siquiera es correcto. El gradiente de temperatura es normal a la superficie isotérmica, lo cual es una simple consecuencia matemática de la expansión local de Taylor $T({r}_0+\delta{{r}})=T(r_0)+(\partial{T}/\partial{r}) \delta r$. Sin embargo, en general el flujo de calor no es local (es decir, el flujo de calor en un punto dado no está definido únicamente por la temperatura local y su gradiente); pero incluso si es local, el flujo de calor no es en general colineal con el gradiente de temperatura debido a la anisotropía de transporte, por lo que la relación correcta es $\vec{q}=-\hat{\kappa} \nabla(T)$ donde $\kappa$ es el tensor de conductividad térmica. Por ejemplo, en un plasma magnetizado la anisotropía del transporte de calor puede ser de muchos órdenes de magnitud, y en un plasma confinado magnéticamente el flujo de calor no suele ser ortogonal a la superficie isotérmica sino casi exactamente a lo largo de la superficie (a lo largo de la línea de campo magnético, para ser exactos).

Sin embargo, si asumimos un transporte isotrópico (como parece implicar la pregunta) entonces el tipo estándar de argumento utilizado para un proceso difusivo como, por ejemplo, en el artículo de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Fick%27s_laws_of_diffusion explica por qué el flujo va en dirección al gradiente de temperatura.