Concepto unificado de lo '$dx$' significa

Question

El símbolo $dx$ en el cálculo es introducido por primera vez como una forma de notación: en la diferenciación,

$$\frac{dy}{dx}$$

significa que la derivada de la función $y$ con respecto al $x$. Dejando $f(x) = y$, otras notaciones $f'(x)$, $\dot{y}$ (Newton "fluxion" la notación usada en la física), y $D_x[f]$ ("operador diferencial" de la notación).

También aparece en la integración:

$$\int f(x)\ dx$$

significa la anti-derivada de $f$ con respecto a la variable $x$, y si la integral es una integral definida, de nuevo, sólo denota la variable con la que estamos integrando "con respeto".

Así que parece que $dx$ es sólo la notación, nada más, nada menos. Sin embargo, entonces usted puede venir a través de algo raro como esto:

$$\frac{dy}{dx} = x$$ $$dy = x\ dx$$ $$\int dy = \int x\ dx$$ $$y = \frac{x^2}{2} + C$$

Sin embargo, la anterior racimo de manipulaciones es, de la "notación" punto de vista, el absurdo: "$dy$" y "$dx$" no son cantidades, solo pedazos de notación. Decir $dy = \mathrm{something}$ es tan ridículo como decir $\sqrt{} = \mathrm{something}$. Pero funciona.

Ahora, cuando se incluyen las más avanzadas de las matemáticas, así como las operaciones matemáticas básicas, parece que podemos elaborar la siguiente lista de respuestas en cuanto a "lo $dx$ realmente es" - y no una cosa!:

1. Es sólo la notación. Eso es lo que acaba de hacer. Pero, a continuación, por encima de la manipulación es una tontería. Alguien dijo en este sitio, que esto era sólo un "particularmente unenlightening" manera de mirar.

2. Es un límite. $dx$ es lo que sucede a $\Delta x$ como es arbitrariamente pequeño. Sin embargo, esta no es lo suficientemente riguroso como-hacer de la por encima de la manipulación de trabajo, parece que tenemos que pasar fuera del límite de vuelta a $\Delta y$ $\Delta x$ desde el límite de cada es $0$.

3. Es una forma diferenciada. Esto le da a la primera "riguroso" de la definición. Pero aquí, nos tire en el colector de la teoría y la no-Euclidiana espacios para hacer nuestro trabajo, que si bien es en el hogar en matemáticas avanzadas, no es definitivamente algo que usted quiere poner en la clase de Cálculo, donde estamos tratando con las conceptualmente mucho más simple Euclidiana espacios, y si quieres hacer riguroso $dx$-manipulaciones en el espacio Euclidiano, parece que seria una exageración. Esto también funciona en problemas con la integración -- ¿qué sucede si queremos integrar disfunciones continuas? Esto nos lleva a...

4. Es una medida. Esta definición parece estar limitado sólo a la integración. En este caso, $dx$ en la integral representa una medida - una función que asigna un "tamaño" ("length", "área", "volumen", etc.) a los subconjuntos de la recta real o el espacio Euclidiano, en particular, la medida de Lebesgue, que generaliza nuestra costumbre, la idea intuitiva de "longitud", "área", etc. . De nuevo, este es pesado, ya que tenemos que profundizar en la estructura profunda de la línea real pero, por supuesto, es un avanzado concepto. Sin embargo, no requiere no-Euclidiana de los espacios, y se puede aplicar a funciones discontinuas, pero, por supuesto, sólo funciona con la integración (nota: no se pueden diferenciar una función discontinua).

5. Es un infinitamente pequeño número. Esto fue lo que fue, de hecho, originalmente concebido por los padres de cálculo. Este enfoque fue formalizado rigurosamente por Abraham Robinson no estándar de análisis. Este enfoque parece ser el más pesado de todos ellos, ya que se requiere de sondeo hacia abajo en la lógica matemática para entender realmente el formalismo, en particular en el "modelo de la teoría" y "ultrapowers" para extender la línea real con infinitesimal números de tal manera como para permitir el análisis a realizarse.

Ahora, parece que las 3) y 4) puede ser pensado como "diferencial" y "integral" de las nociones de lo "$dx$" significa. 1) y 2) no son tan útiles.

Mi pregunta es: ¿hay una sola, la unificación de la noción que une a todos estos juntos, un "verdadero significado de la $dx$"? O es "$dx$" un montón de muy, muy diferentes conceptos, y por lo tanto es una tontería punto a uno o al otro y lo llaman el significado "real"?

Answer 1

Mi opinión es que la búsqueda de un significado universal de símbolos tales como el $\mathrm{d}x$ o $\mathrm{d}t$ está sobrevalorado. Por supuesto, el uso de esta símbolos está motivado por la historia, como se dio cuenta. Sin embargo

1. Los derivados pueden (y deberían) ser indicados por un primo, o por el operador $\mathrm{D}$;
2. Integración (como $\int_\Omega f \, \mathrm{d}\mu$) y se denota también por $I(f,\mu)$;
3. la integral de la 1-forma $\omega=f(x)\, \mathrm{d}x$ sobre el camino de $\gamma$$\int_\gamma \omega$;
4. cada uno de los "manipulación" de los diferenciales es rigurosamente justificado por la teoría.

Lo que quiero decir es que podemos usar, $\partial$ para la diferenciación operador que actúa sobre las formas, $\delta$ de infinitesimals, y así sucesivamente. Tendemos a usar d sobre todo, porque siempre tratamos de minimizar el número de símbolos. Consideremos, por ejemplo, la confusión acerca de la integración de diferentes teorías. Escribimos $\int$ para cualquier integral, aunque sabemos que Riemann y Lebesgue integrales son no de la misma.

De la misma manera, sabemos que el d de formas diferenciales y el d de la integración de la teoría son la misma, sólo que en circunstancias particulares, pero preferimos abuso de notación para el bien de la comodidad.

Answer 2

Esto es lo que me enseñaron en la escuela y la Universidad.

El diferencial de una variable independiente es igual a su incremento. Así que, si el $x$ es una variable independiente, $dx=\Delta x$ por definición. Para una variable dependiente, el diferencial es el incremento de la tangente.