Es $\mathbb R^n\setminus\{\mathbf 0\}$ ¿un conjunto convexo?

Question

Es $\mathbb R^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ ¿un conjunto convexo?

Leí el libro de análisis convexo (R.T. Rockafellar), en el libro escribió " cono convexo puede o no puede contienen el punto de origen". Entonces se me ocurre la pregunta de que todo el espacio $\mathbb{R}^n$ es un cono convexo, por lo que no puede contienen también el punto de origen, es decir $\mathbb R^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ . Pero el punto de origen $0$ no está en el segmento de línea que une los puntos $(-x,0)$ y $(x,0)$ por lo que todo el espacio no es un cono convexo, lo que me confunde.

Answer 1

$\mathbb R^n\setminus\{\mathbf 0\}$ no es un conjunto convexo para cualquier natural $n$ ya que siempre existen dos puntos (digamos $(-1,-1,\dots,-1)$ y $(1,1,\dots,1)$ ) donde el segmento de línea entre ellos contiene el punto excluido $\mathbf 0$ .

Esto no contradice la afirmación de que "un cono convexo puede contener o no el punto de origen" porque según la definición del autor, un cono convexo no puede contener ninguna línea, lo que significa $\mathbb R^n$ no es un cono convexo.

Answer 2

No, no lo es. El segmento de línea que va desde $(1,0,0,\ldots,0)$ a $(-1,0,0,\ldots,0)$ no está contenida en ella.

Answer 3

Un conjunto es convexo si toda línea entre dos de sus puntos está contenida en el conjunto.

Hice un dibujo mostrando que $\mathbb R^2\setminus D$ con $D$ un disco no es convexo. La situación sigue siendo la misma para $\mathbb R^2\setminus \{0\}$ Es más difícil de dibujar.

Como puede ver, el segmento de $A$ a $B$ sale de la zona resaltada, es decir $\mathbb R^2\setminus D$

Esto demuestra inmediatamente la situación para $\mathbb R^n\setminus\{0\}$ ya que un conjunto es no convexo si contiene un subconjunto no convexo.

Answer 4

Así que mi respuesta es no, puedes tomar dos puntos antipoderosos cualquiera por ejemplo yo tomo $n =3$ y tomo p=(x,y,z)y el punto antipodal q=(-x,-y,-z) el segmento [p,q] no está contenido en su conjunto

Answer 5

El conjunto $\Bbb R^n-\{\underbrace{000.....0}_{n\ \ times}\}$ no es convexo por el mismo argumento del Sr. Parcly Taxel pero está conectado y su intuición probablemente le lleva a eso