Supongamos que $(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)$ son dos espacios anillados y $(f,f^{\sharp}):(X,\mathcal{O}_X)\longrightarrow(Y,\mathcal{O}_Y)$ es un morfismo de estos dos espacios anillados.Me pregunto por qué definimos $f^\sharp$ pasando de $\mathcal{O}_Y$ a $f_* \mathcal{O}_X$ en lugar de desde $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ a $\mathcal{O}_X$ Aunque siento que esta pregunta es un poco metafísica, todavía quiero aprender alguna explicación al respecto. ¿Hay algunas ventajas en la primera definición o sólo debido a razones históricas? Y agradecería si alguien quisiera darme algunas pistas al respecto.
Respuesta
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Como $f_*$ es adjunto a la derecha de $f^{-1}$ (ver Wikipedia (esto es también el Cap. 2, Ex. 1.18 en Hartshorne), al elegir una de estas definiciones no se está perdiendo realmente nada. La definición estándar me parece correcta porque así es como se comportan las funciones suaves en una variedad: si $f\colon M \to N$ es un mapa suave de variedades y $V \subset N$ es abierta, entonces, incluso sin la noción de gavilla, es natural retirar funciones suaves $V \to \mathbf R$ para suavizar las funciones $f^{-1}(V) \to \mathbf R$ .
Notas de Vakil suelen presentar alguna motivación para sus definiciones. El libro de Eisenbud y Harris también es bueno en esto.
Añadido mucho más tarde. La sección correspondiente en el Proyecto Stacks introduce la noción de " $f$ -mapa de gavillas" en la definición 21.7. Creo que esto es conceptualmente mucho más fácil de digerir, sobre todo cuando se trata de componer morfismos de espacios anillados.
