¿Cuál es la integral indefinida de $\lfloor x^{-1} \rfloor$?

Question

Estoy tratando de encontrar la integral indefinida de $\lfloor \frac 1x \rfloor$

Mi intento

Por favor, ser conscientes de que lo que viene después de esta frase no es nada más que mi trabajo. Se me hace, y mucho de ello contiene compuesto notaciones, mucho de lo que he hecho y es muy difícil para mí explicar y/o definir claramente. Si no tiene sentido para usted, no dude en preguntar, pero ya que esas cosas son tangenciales a la pregunta, siéntase libre también caso omiso de ellos y se refieren exclusivamente a mi cuestión.

Así que, dado que esta es una función constante a trozos, he utilizado el método de salto de la serie a integrar. He encontrado el implícita integral a $x\lfloor x \rfloor$.

Esto significa que la integral ahora es igual a $x\lfloor \frac 1x \rfloor - JS(x \lfloor \frac 1x \rfloor)$

Ahora, el piecewsie constante componente que me preocupa. Debido a que la función es infinito en 0, no me puedo desplazar todos los desconectado piezas en línea con x = 0 se mantiene fijo (físicamente me refiero). Que haría la función de infinito en todas partes. Además, no estoy seguro de si la integral es divergente. Creo que el piso chuletas de lejos suficiente área para hacer que finito. Sin embargo, me arroja fuera.

Pregunta Extra

Suponiendo que la contestadora entiende mi forma de escribir (o al menos se puede entender la evolución de la computación), podría la contestadora encontrar y calcular JS(x * planta(1/x))? No debería ser demasiado difícil. (Después de todo, es sólo una cuestión de resolución para que en la expresión anterior se menciona su participación). Si no puede encontrar (no se revelará a sí mismo de forma explícita) o el extraño notación confundido, siéntase libre de ignorar esta "pregunta extra". No es relevante a la pregunta original en la parte superior de este post, y como ya he dicho, estas secciones posteriores se refieren a mis intentos, pero no necesariamente la solución que se encuentra. Como dicen, más de una manera para la piel de un gato. No te gusta mi método a la piel del gato. :p

Definiciones (para ayudar a aclarar las cosas)

Implícita Integral: Una forma de integración simbólica que contiene todos los símbolos de la forma $\lfloor f(x) \rfloor$ constante. Implícita la Integración varía según la pieza de sabios constantes en lugar de constantes. Eric Stucky más formalmente definido este concepto aquí (nota, no he escrito ese papel. La "asistencia" es meramente crédito a mí hacer esta integral.)

Salto de la Serie: La parte de una pieza de sabios función continua (limitada o ilimitada) que consiste puramente en discontinuidades de salto. El Salto de la Serie va a ser una pieza sabio función constante variable por un número real constante. Si hay un salto de un valor infinito a un número finito de valor que no puede de alguna manera ser reducido, que aún consideran que el Salto de la Serie a, sino que 'divergente' o 'sin límites'.

Método de integración de Saltar de la Serie: Un método de integración donde los habituales de integración se divide en una implícita integral de la función integrada de menos el salto de la serie de la mencionada implícita integral. Este método está garantizado para trabajar tanto tiempo como el final de la integral de una forma cerrada. Todos los operadores involucrados se garantiza que existe tan larga como la función original de ser integrado existe; sin embargo, el grado en que pueden expresarse es... desconocido.

Answer 1

si $u = \frac 1 x$,$x = \frac 1 u$, lo $dx = -\frac {du}{u^2}$, y la integral se convierte en

$$\int \left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\ dx = -\int \frac {\lfloor u \rfloor du}{u^2}$$

Para atar las diferentes piezas junto cohesiva, cambiar a una integral definida de $u = 0$:

$$F(u) = -\int_0^u \frac {\lfloor t \rfloor dt}{t^2}$$

Ahora para $t \in [n, n + 1)$ por entero $n \ge 0$, $\lfloor t \rfloor = n$, por lo que la integral se reduce a $$-n\int \frac{dt}{t^2} = \frac n t + C$$ y, por tanto, $$\int_{n-1}^n \frac {\lfloor t \rfloor dt}{t^2} = \frac 1 n$$ Así $$F(u) = \sum_{n=1}^{\lfloor u \rfloor} \frac 1 n + \int_{\lfloor u \rfloor}^u \frac {\lfloor t \rfloor dt}{t^2}dt = -\left(H(\lfloor u \rfloor) + \frac {\lfloor u \rfloor}{u} - 1\right)$$ donde $H(n)$ es la suma de los primeros a $n$ términos de la serie armónica ($H(0) = 0$).

Así que mi reclamo es que para $x > 0$, $$\int \left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\ dx = -x\left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor - H\left(\left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\right) + C$$

Vamos a probar que. Ahora para $x > 1$ el integrando es $0$ y mi antiderivada es constante, por lo que las obras donde las cosas no son interesantes. Para $x < 1$, por mi fórmula, se debe tener $$\int_{\frac 1 n}^1 \left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\ dx = \left(\frac 1 n\lfloor n \rfloor + H(n)\right) - (1\lfloor 1 \rfloor + H(1)) = H(n) - 1$$

Por más de un cálculo directo: $$\begin{align}\int_{\frac 1 n}^1 \left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\ dx &= \sum_{k = 1}^{n-1} \int_\frac 1 {k + 1}^\frac 1 k \left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\ dx \\&= \sum_{k = 1}^{n-1} \int_\frac 1 {k + 1}^\frac 1 k k\ dx \\&= \sum_{k = 1}^{n-1} k\left(\frac 1 k - \frac 1 {k+1}\right) \\&= \sum_{k = 1}^{n-1} \frac 1 {k+1} \\&= H(n) - 1\end{align}$$

Entre los inversos de los números enteros, el integrando es constante, por lo que la antiderivada va a ser que la constante de veces $x$, además de una constante, tal y como me dio. I. e., mi antiderivada obras.

Ahora bien, esto es sólo para $x > 0$. Tenga en cuenta que como $x \to 0+$, la antiderivada se eleva a $\infty$. De esta forma se rompe todo el asunto. En el lado negativo, que se pueden obtener diferentes (pero muy similar) antiderivada. Yo voy a dejar a usted para averiguar cuáles son las diferencias. Debido a la singularidad en $x = 0$, no se puede tener una integral indefinida que trabaja sobre toda la recta real, o incluso toda la recta real con la excepción de $0$, por lo menos para el cálculo de las integrales: si $a < 0$$b > 0$, luego $$\int_a^b \left\lfloor \frac 1 x \right\rfloor\ dx$$ does not converge, so there is no function $f$ where it will be equal to $f(b) - f(a)$.

Answer 2

Bueno, en realidad, tu post suena a mí un poco confuso. Permítanme tratar de corregir algunos puntos de partida.

• Como se muestra en la imagen, $1/x - 1 < \left\lfloor {1/x} \right\rfloor < 1/x$, de modo que la integral de$0$$1$$\infty$.
• $\left\lfloor { - 1/x} \right\rfloor = - \left\lceil {1/x} \right\rceil$, por lo que, aparte de pasar por $1$ y una definición diferente en los puntos de transición, la función es casi anti-simétrica, y su integral es divergente también para $x \to 0^-$.
• La integral de $a$ ($0<a \leqslant 1$) a $1$ puede ser expresado como $$ \begin{gathered} \int_a^1 {\left\lfloor {\frac{1} {x}} \right\rfloor dx} = 1\left( {1 - \frac{1} {2}} \right) + 2\left( {\frac{1} {2} - \frac{1} {3}} \right) + \cdots + \xi \left( a \right)\left( {\left\lfloor {\frac{1} {a}} \right\rfloor } \right)\left( {\frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor }} - \frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor + 1}}} \right) = \hfill \\ = \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\; \leqslant \,\left\lfloor {1/a} \right\rfloor - 1} {k\left( {\frac{1} {k} - \frac{1} {{k + 1}}} \right)} + \xi \left( a \right)\left( {\left\lfloor {\frac{1} {a}} \right\rfloor } \right)\left( {\frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor }} - \frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor + 1}}} \right) = \hfill \\ = \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\; \leqslant \,\left\lfloor {1/a} \right\rfloor - 1} {\frac{1} {{k + 1}}} + \xi \left( a \right)\frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor + 1}} \hfill \\ \end{reunieron} $$ donde $\xi \left( a \right)$ es la fracción de el paso individualizado por $a$, es decir, $$ \begin{gathered} \xi \left( a \right) = \frac{{\frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor }} - a}} {{\frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor }} - \frac{1} {{\left\lfloor {1/a} \right\rfloor + 1}}}} = \frac{{\frac{1} {{1/a - \left\{ {1/a} \right\}}} - \frac{1} {{1/a}}}} {{\frac{1} {{\left( {1/a - \left\{ {1/a} \right\}} \right)}} - \frac{1} {{\left( {1/a - \left\{ {1/a} \right\} + 1} \right)}}}} = \hfill \\ = \left( {\left( {1 - a\left\{ {1/a} \right\}} \right)\left( {1 + a - a\left\{ {1/a} \right\}} \right)} \right)\frac{{\left\{ {1/a} \right\}}} {{\left( {1 - a\left\{ {1/a} \right\}} \right)}} = \hfill \\ = \left( {1 + a - a\left\{ {1/a} \right\}} \right)\left\{ {1/a} \right\} \hfill \\ \end{reunieron} $$

Que se basa, y aparte de los posibles rewritings (por ejemplo, implicando Armónico N.), no veo cómo la expresión de la integral puede ser desarrollada, si no tal vez tratando de expresar $\xi (a)$ en series de Fourier ...