Trinonions, Cuaterniones, Quinonions, Sextonions, Septonions, Octonions

Question

Hay cuaterniones y octonions e incluso sextonions pero, ¿qué acerca de trinonions, quinonions y septonions. Hay 3, 5, y 7 dimensiones álgebras de lo que podría ser llamado trinonions, quinonions y septonions?

El término sextonions se utiliza en

• Bruce W. Westbury, Sextonions y el cuadrado mágico http://arxiv.org/abs/math/0411428

• J. M. Landsberg, L. Manivel, El sextonions y $E_{7\frac{1}{2}}$ http://arxiv.org/abs/math/0402157

pero este 6-dimensional álgebra había sido estudiado anteriormente en

• R. H. Jeurissen, El automorphism grupos de octava álgebras, tesis de Doctorado, Universidad de Utrecht, 1970.
• E. Kleinfeld, En las extensiones de cuaterniones, India J. Math. 9 (1968) 443-446.

Me encontré con el término sextonions en http://en.wikipedia.org/wiki/E7.5 siguiendo un enlace de http://cameroncounts.wordpress.com/2013/09/03/e7-5/.

Ellos también son mencionados en http://math.ucr.edu/home/baez/week260.html

Answer 1

La principal cosa para saber en esta área es el teorema de Hurwitz y el teorema de Frobenius cuáles son los resultados que caracterizan a $\Bbb R$ álgebras (en realidad más) con ciertas propiedades.

El ex dice que la composición de álgebras de tener dimensión 1,2,4 u 8, lo que resulta en los reales, los complejos, los cuaterniones y octonions respectivamente. El último es un subcase preguntando acerca de la división de álgebras de lugar, y se dice que el único dimensiones son 1,2,4, (no octonions.)

Más allá de eso, si no estás pidiendo que todas las propiedades especiales, hay $\Bbb R$ álgebras de cada dimensión, y la gente va a nombre de ellos lo que les plazca. Sé con certeza sobre el sedenions, la que se llega por un proceso análogo al pasar a través de la cadena de $R\subseteq C\subseteq H\subseteq O$. Este proceso es conocido como el de Cayley-Dickson construcción y puede continuar de manera indefinida la producción (no asociativo) álgebras de dimensión $2^n$.

En el Lema 3.3 de este documento veo que construir sextonions, en lo que parece una versión modificada de Cayley-Hamilton manera, así que esto podría ser una generalización que produce el patrón que usted está buscando. Este podría ser un método para producir una familia de álgebras, pero la convención de nomenclatura es totalmente arbitraria.

Yo no he tenido el placer de conocer a la sextonions, pero suenan... atractivo.

Como que recuerdo que alguien una vez diciendo en este sitio: la invención y a la nomenclatura de álgebras era un deporte muy popular en el siglo 19.

Answer 2

Hay 3, 5, y 7 dimensiones álgebras de lo que podría ser llamado trinonions, quinonions y septonions?

El conocido 1-2-4-(6)-8 patrones se basan sobre la duplicación de las construcciones, y más tarde álgebras en la secuencia de tener dimensiones divisible por el anterior. Es difícil descartar nada, definitivamente, porque las definiciones se puede cambiar si aparecen nuevos patrones. Creo que no se sabe cuál es la definición correcta de álgebras es que apoyaría Deligne la conjetura de continuación analítica de la "dimensión" o "número de elementos" parámetros visto en las fórmulas, para valores no enteros.

El espacio de parámetros en Vogel avión que podrían apoyar interesante álgebras de Lie se explora aquí

http://arxiv.org/abs/1209.5709

Mkrtchyan encuentra $E_{7.5}$ y dos grandes ejemplos nuevos. La historia se explica en parte en su papel, consulte también el Triángulo Mágico capítulo del libro de Cvitanovic, que estaba trabajando en cosas relacionadas durante años en su propia notación ( http://birdtracks.eu ).

El término sextonions fue acuñado en 2004 en

Pensé que el término y la idea surgió a partir de Westbury, que circula en un preprint por 2003, cuyo formulario actualizado es

http://arxiv.org/abs/math/0411428

Es un antiguo observación de varias personas que el cuadrado mágico se extiende a un triángulo mágico, y la posibilidad de añadir otra línea para el triángulo se notó en varios tiempos y lugares, pero Westbury parece ser el que se propone la construcción de esta línea de una manera más básica octionion-como objeto de dimensión $6$. Hay gente en Mathoverflow que conocer la historia más exactamente, pero mucho puede ser reconstruido a partir de los enlaces de las fuentes y las referencias en la pregunta.